Ganzrationale Funktion 3. Grades mit Wendepunkt und Wendetangenten bestimmen

Question

Meine Aufgabe lautet:

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ändert sein Krümmungsverhalten im Punkt P(1/6).
Die Wendetangente hat die Steigung -7. An der Stelle x = 2 beträgt die Steigung des Funktionsgraphen -4.
Bestimmen sie den Funktionsgraphen f."

So
Ich wollte nun erstmal die Wendetangente ausrechnen.
hab da :
t(x)=mx+b
6=-7*1 + b  | +7
13 = b

t(x) = -7x +13

So. Hat mir das nun etwas gebracht ? Ich weiß es nicht und ich weiß auch nicht wie es nun weitergehen soll ._.

LG
Riulin

Answer 1

Hi,

die Wendetangente auszurechnen braucht man nicht. Die Information der Steigung genügt bereits.

Damit kann man vier notwendige Bedingungen aufstellen:

f(1)=6         (Wendepunkt)
f'(1)=-7       (Steigung am Wendepunkt)
f''(1)=0        (Bedingung des Wendepunkts)
f'(2)=-4      (Bekannte Steigung an der Stelle x=2)

mit y=ax^3+bx^2+cx+d kann man also folgendes aufstellen:

a + b + c + d = 6 

3a + 2b + c = -7

6a + 2b = 0

12a + 4b + c = -4

 

Das lösen und man erhält:

a=1 b=-3 c=-4 und d=12

Also die Funktion y=x^3-3x^2-4x+12

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Puh. Vielen dank für die rasante Hilfe !
Nun erstmal durchfuchsen...

Also dass du aus y=ax³+bx²+cx+d
a+b+c+d= 6 machen konntest, hab ich verstanden, weil man ja x= 1 hatte.
ist bei den nachfolgenden funktionen auch nicht anders.
Hab nur die letzte noch nicht ganz im Blick.

y(x)=ax3+bx2+cx+d
y'(x)=3ax²+2bx+c
y'(2)=3*a*2²+2*b*2+c
y'(2)=12a+4b+c

HAH ! Super ! gut ! Danke ! :D
Das hat mir meine gute mathenote gerettet !
Daumen hoch für dieses klasse forum !

LG
Riulin

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Ich wollte Dir ja noch etwas Arbeit lassen! Damit hast Du Dir dann auch Deine gute Note verdient! :)

Freut mich, wenn ich/wir helfen könnten.

(Ich habe es also so verstanden, dass nun alles verstanden wurde. Wenn doch noch was offen ist -> frage nach :))

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moment.. ich weiß nicht wie man so eine funktion wie 3a + 2b + c = -7 auflösen soll. So viele Unbekannte ?

Riulin

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Du musst es als Gesamtheit betrachten. Ein LGS lösen:

a + b + c + d = 6
3a + 2b + c = -7

6a + 2b = 0

12a + 4b + c = -4


Willst Du es selbst probieren?

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nun weiß ich ja die endergebnisse schon und will die, die ganze zeit einsetzen..
Ich würde wahrscheinlich stunden vor mich hinraten, wenn ich sie nicht wüsste.
Soetwas wie ein "LGS" hatten wir noch nicht.
Zumindest hab ich keinen Schimmer, was es ist.
Hast noch ein paar Tipps wie ich selbst drauf komme ? ._.

Danke für deine Zeit ^^

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Es freut mich, dass Du es selbst versuchen willst :). Der Lerneffekt ist dabei meiner Einschätzung nach am größten.


LGS=Lineares Gleichungssystem. Ich wäre sehr verwundert, sollte dies Dir unbekannt sein, da es für solche Aufgaben gebraucht wird.

Es gibt mehrere Möglichkeiten. Sagt Dir der Gaußalgorithmus etwas? Damit könnte man dem LGS beikommen ;).

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achso. Gut ^^ wusste nicht was mit dem Kürzel gemeint ist.

Gaußalgorithmus. Hm.. Leider nein

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Nun, wenn Dir ein Lineares Gleichungssystem bekannt ist, weißt Du auch sicher wie man es löst. Gauß ist wahrscheinlich mit das beliebteste, aber ich richte mich gerne nach Dir.

Probier Dich und ich korrigiere ;).

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meinst du , dass ich aus 2 gleichungen eine machen soll ?

Soetwas wie :

I   y= 2x +8
II  2y=-2x+8

=

III  3y = 8

Soetwas ?

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Jein.

Du hast weiterhin zwei Gleichungen

I   y= 2x +8
II  2y=-2x+8

Mit I+II

I     y=2x+8
III  3y = 8


So arbeitet man damit normalerweise. D.h. eine Gleichung bleibt im Urzustand, bei den folgenden wird eine Variable elminiert.


Das ist genau das, was wir nun für unser Problem brauchen. Wir müssen halt mehrere Schritte machen und immer eine Variable elimineren.
Versuch Dich mal, der Gedanke ist richtig! ;)

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gib mir ein paar minuten
ich guck mir gerade das prinzip vom Gauß Algorithmus an  =)

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Ein guter Vorsatz! Der wird Dir noch das Leben erleichtern.


Ich bin wohl den ganzen Abend da. Lass Dir also Zeit, ich begleite Dich dann wieder, wenn Du bereit bist :D.

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Hm
Bisher erscheint mir das ganz einfach.
Verstehe aber noch nicht ganz, wie er dann umgeformt hat von der grundtabelle zur stufentabelle.

Bei uns wäre das aber erstmal die grundtabelle:

 a | b | c | d | r.L
 1 | 1 | 1 | 1 | 6
 3 | 2 | 1 | 0 | -7
 6 | 2 | 0 | 0 | 0
12| 4 | 1 | 0 | -4

und nun muss ich die Nullen zur stufenform bringen
die erste funktion bleibt gleich..

a | b | c | d | r.L
1 | 1 | 1 | 1 | 6
0 | * | *  | *  | *
0 | 0 |  * | * | *
0 | 0 |  0 | * | *

Und wie forme ich nun um ?

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Das ist richtig.

Ich mache es Dir mal für die zweite Zeile vor, wobei die Zeilen von I-IV bezeichnet seien.

3*I-II

   3 3 3 3 18
-(3  2 1 0  -7)

a | b | c | d | r.S
1 | 1 | 1 | 1 | 6
0 | 1 | 2  | 3  | 25

 

Nun Du die beiden Folgenzeilen ;).

Sorge dafür, dass sie vorerst die Form

0 | * |  * | * | *
0 | * |  * | * | *

haben.

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Zeile I:  1 | 1 | 1 | 1 | 6
Zeile II  0 | 1 | 2 | 3 | 25

Zeile III
6*I - III

    6  6  6  6   36
- (6   2  0  0   0 )

= 0  4  6  6  36

Zeile IIII

12*I - IIII
   12  12  12  12  72
-( 12  4      1    0    -4)

= 0   8     11     12  76

So.
Dann hab ich jetzt die Tabelle:

a | b | c | d | r.S
1 | 1 | 1 | 1 | 6
0 | 1 | 2 | 3 | 25
0 | 4 | 6 | 6 | 36
0 | 8 |11|12| 76

Ich sollt erstmal nur vorne Nullen machen.
Aber ich mach nunmal weiter :D
Glaub ich hab den Knoten.

Nun lasse ich Zeile II stehen und mache bei III weiter

Zeile III

4*II-II
   4  8  12  100
-(4  6   6     36)

= 0   2   6   64

Zeile IIII
8*II-IIII
   8  16  24  200
- (8 11   12     76)
= 0 5  12  124

Tabelle:
a | b | c | d | r.S
1 | 1 | 1 | 1 | 6
0 | 1 | 2 | 3 | 25
0 | 0 | 2 | 6 | 64
0 | 0 | 5 |12|124

uuund die letzte Zeile:

2,5*III - IIII
  0 0 5 15  160
-(0 0  5  12 124)
= 0 0  0  3  36

Endtabelle:
a | b | c | d | r.S
1 | 1 | 1 | 1 | 6
0 | 1 | 2 | 3 | 25
0 | 0 | 2 | 6 | 64
0 | 0 | 0 | 3 | 36

Richtig ? *Schweiß wegwisch*
LG
Riu

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ach ich löse noch fix auf xD

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Ich habe mir erlaubt nur das letzte anzuschauen. Ist dies richtig, sollte es auch der Rest sein.


Und Kompliment...das hat geklappt! Nur noch aufdröseln und Du bist fertig! Und das ganz ohne meine Hilfe! -> arbeitslos :P

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a + b + c + d  = 6
      b +2c+3d = 25
          2c + 6d = 64
                   3d = 36

3d= 36 | /3
d = 12

d in III

2c + 6 * 12 = 64
2c + 72       = 64 | - 72
2c                = - 8 | / 2
c                  = - 4

c und d in II

b + 2*(-4) + 3* 12 = 25
b -8 + 36                = 25
b + 28                    = 25 | -28
b                              = -3

b , c und d in I

a - 3 -4 +12          = 6
a - 7 + 12             = 6
a + 5                     = 6 | - 5
a                            = 1

Stimmt mit deinen Lösungen überein
wunderbar

Dankeschööööööööööööööööööööööööööööön !!!

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Ich hatte ja nicht viel zu tun^^.


Sehr gut! Und gerne :).