Reelles Integral mit Residuensatz

Question

ich bräuchte Hilfe bei der Berechnung eines reelles Integrals mit Hilfe des Residuensatzes.

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x+1)}{x^2+1}~dx $$

Ich weiß, dass man die Sinusfunktion durch die Eulerform ersetzen muss und dann mit \( z = e^{ix} \) substituieren kann, aber wie substituiert man dann das \( x^2 \)?

Oder kann ich auch direkt die Polstellen hernehmen und den Residuensatz anwenden ohne zu substituieren?

LG

Answer 1

aber wie substituiert man dann das x^₂?

Man bestimmt die Singularitäten:

z² +1=0

z_¹ = i

z₂= -1

also (z-i)(z+i) ->Pol 1. Ordnung , das -i entfällt

dann setzt man das Ganze in die Formel für das Residuum ein.

Ergebnis:

π/e *sin(1)

Comments

Also kann man dabei also immer für \( x = z \) setzen? Dann war die Lösung wohl einfacher als gedacht.