Jede Folge ist auch als Reihe darstellbar

Question

Eine Folge von Partialsummen ist ja per Definition eine Reihe.Jetzt soll ich zeigen, dass man auch jede Folge als eine Reihe darstellen kann...
Ist damit gemeint, dass man auch jede Folge VON PARTIALSUMMEN als Reihe darstellen kann?
Also wenn ich jetzt die Folge von Partialsummen habe an:= 1+2+3+4+5+....+an
Dann könnte ich es auch schreiben als ∑a_n-a_{n-1  ?Mich verwirrt, da da ja nicht steht, dass ich eine Folge als Reihe darstellen soll und nicht, dass ich eine Folge von PARTIALSUMMEN darstellen soll.Und eine Folge hat für mich immernoch ein Komma zwischen den Gliedern und das ist ja dann keine Reihe}

Answer 1

"...soll ich zeigen, dass man auch jede Folge als eine Reihe darstellen kann..."

damit ist bestimmt das gemeint, was mathef zeigte.

ABER die Überschrift als Frage -> da denkt man zunächst an was anderes:

 frage mal Deinen Lehrer, wie die "Reihendarstellung" der

Primzahl-Folge aussieht ( http://www.lamprechts.de/gerd/Primzahlen.htm

Punkt 5. Prime(x)= ...

 aber Dein Lehrer kennt sie bestimmt nicht)...

Aber es gibt noch viel kompliziertere Zahlenfolgen, die nur als Code- Algorithmus bekannt sind ->

( http://oeis.org/A194954 und noch kompliziertere )

 daraus eine Reihe geht nur mit dem Trick, dass man Funktionen f(x) oder Glieder a[i] als bekannt annimmt und daraus eine Summe bastelt.

Oft wird auch verwechselt, dass es 2 Arten von "Reihen" gibt:

a) https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik) also "Partialsumme"

aus den Folgeglieder a[1]...a[n] die Partialsumme bilden: ∑ a[k] , k=1...n

Beispiel Primzahlen-Folge http://oeis.org/A000040

Partialsumme, also die Reihe davon: http://oeis.org/A007504

b) https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Reihen_von_Funktionen

Es gibt die Primzahl-Folge: a[1]=2, a[2]=3,...

a[n]=Prime(n) -> die Primzahlfunktion: Prime(1)=2; Prime(2)=3

die Reihendarstellung dieser Funktion lautet:

Also 2 Algorithmen für die selbe Sequenz: http://oeis.org/A000040

Um diese Verwechslung zu vermeiden, da es beides Reihen sind, sollte man besser von Partialsummen oder Reihendarstellung sprechen.

Answer 2

Ich denke eher so:Folge  ao  a1   a2   a3    a4  ...   ist als  Reihedie Differenz zweier Summen

$$  \sum_{i=0}^{n}{}{ a }_{ i }-\sum_{i=0}^{n-1}{}{ a }_{ i }$$oder eben als sog. Teleskopsumme

$$ { a }_{ 0 }-\sum_{i=0}^{n-1}({ a }_{ i }-{ a }_{ i+1 })$$