Endlich-dimensionale Vektorräume => Aussagen beweisen

Question

Seien K ein Körper und V, W endlich-dimensionale Vektorräume über K. Weiter sei Φ: V → W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Φ ist genau dann injektiv, wenn für jede linear unabhängige Teilmenge M von V das Bild Φ(M) linear unabhängig in W ist. 

b) Φ ist genau dann surjektiv, wenn für jedes Erzeugendensystem M von V das Bild Φ(M) ein Erzeugendensystem von W ist.

c) Φ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn für jede Basis M von V das Bild Φ(M) eine Basis von W ist. 

Answer 1

a)  Sei f Injektiv   und M eine   linear unabhängige Teilmenge von V .

Da V endlichdimensional ist, hat M endlich viele Elemente   m1  ,  m2 ,  .... mk .

Betrachte eine Linearkombination des 0-Vektors durch die  Bilder der mi

0 =  x1*f(m1) + x2*f(m2)  + ..... + xk*f(mk)

wegen der Linearität von f ist dann 

0    =  f(x1*m1 + x2*m2  + ..... + xk*mk) 

Da f Injektiv ist und f(0)=0 ist, gilt auch

x1*m1 + x2*m2  + ..... + xk*mk  = 0

und da die mi linear unabh. sind, gilt

x1 = x2 = ....  xk = 0 .

Also sind die f(mi) auch lin. unabh.

umgekehrt:   Sei f eine lin. Abb. von V nach W und

für jede linear unabhängige Teilmenge M von V das Bild f(M) linear unabhängig in W .

Angenommen f wäre nicht Injektiv, dann gibt es  v1 ≠ v2 aus V mit

f(v1) = f(v2).      f(v1) - f(v2) = 0

wegen der Linearität  f( v1-v2) = 0 .

Da  v1 ≠ v2  ist die einelemnetige Menge { v1-v2} lin. unabh.

aber ihr Bild wäre { 0} , also lin. abhängig. 

Widerspruch zu:für jede linear unabhängige Teilmenge M von

V das Bild f(M) linear unabhängig in W .

Vielleicht hilf das ja schon für b) und c).

Comments

b habe ich auch hinbekommen , aber wie würdest du die c lösen ?

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wenn du b und c hats, ist das ja einfach

Isomorphismus heißt:  Injektiv und surjektiv.

Wenn also M eine Basis von  V ist, dann ist

M sowohl lin. unabh. als auch Erz. System

als ist wegen Injektiv das Bild lin. unabh (wegen a)

und wegen surj. das Bild ein Erzsyst. (wegen b)also das Bild sowohl lin. unabh.

als auch Erzsyst.,  also auch Basis.

umgekehrt entsprechend.

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Wie ist bei b.) der Ansatz?

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sei f surjektiv und M ein Erzeugendensystem von V.

Sei  w aus W, dann gibt es ein v aus V (wegen surj.)

mit f(v) = w  und da M ein Erz.syst. von V ist, gibt

es m1 ,...mn aus M und a1,  ...an aus K mit

a₁m₁ + a₂m₂+...+a_nm_n = v

also wegen Linearität

w = f(v) = a_1f(m₁ )+ a_2f(m₂₎+...+a_nf(m_{n)wird also von Elementen von Bild (f) erzeugt.}