Ungleichung (n+1)^{2n+1}<n^n(n+2)^{n+1}, (nEN) für natürliche Zahlen beweisen (brauche ich hier Induktion)

Question

Beweisen Sie die Ungleichung
(n+1)²ⁿ⁺¹<nⁿ(n+2)ⁿ⁺¹       (nEN)
Ich dachte erst an Induktion aber es interessiert ja anscheinend nicht ob es für alle gilt...habe die Ungleichung umgewandelt auf die Gestalt (1+(1/(n²+2)))^{n *} (1-(1/(n+2)) < 1
Dann habe ich n gegen unendlich laufen lassen und der Grenzwert ist 0. 0<1Kann ich das so machen?

Comments

Sry, habe meinen Fehler gefunden...ich habe substituiert mit m=n²+2n

aber das kan ich ja dann nicht einfach nach n umstellen...kann mir jmd. sagen wie ich auf die Form n=.... komme?

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Hat sich erledigt, ich konnte es auch anders umschreiben

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Wenn du es gegen unendlich laufen lässt, zeigst du nur,dass es für sehr große n gilt.

"Ich dachte erst an Induktion aber es interessiert ja anscheinend nicht ob es für alle gilt."

Warum nicht?

Es soll für alle n∈ℕ gelten.

Also könnte Induktion hier funktionieren.

Answer 1

"Ich dachte erst an Induktion aber es interessiert ja anscheinend nicht, ob es für alle gilt." Für alle natürlichen Zahlen n soll das ja wohl gelten! Es kann theoretisch sein, dass eine Differenz gegen Null läuft, ohne dass sie streng monoton  kleiner wird. Um einen Induktiondbeweis kommst du wohl nicht herum, es sei denn, du kannst so weit umformen, bis eine evidente Ungleichung entsteht.

Answer 2

Siehe hier

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Bruedern-WS0708/VorlForts.pdf