Matrizen, Rang, Kern, Basis

Question

ich soll in meiner Aufgabe

für die Matrizen ¨

 A = 2 0 2

       1 1 2

       3 1 4

und

B =

1 1 0

1 1 2

jeweils den Rang, eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes bestimmen.

Bei der Bestimmung des Ranges habe ich angefangen die Matrizen auf zeilenstufenform zu bringen und erhalte für die matrix a einen rang von 2, da noch 2 nichtnullzeilen vorkommen. für b bin ich mir nicht schlüssig da ich keine nullzeile, jedoch eine zeilenstufenform erhalte, also ist der rang 1 oder 2?

von kern habe ich schon gehört, aber basis des kerns leuchtet mir nicht ein, genauso wenig wie basis des bildes..

danke schonmal!

Answer 1

Zeilenstufenform bei A habe ich

3    1    4
0    1    1
0    0    0

also rang=2 und Kern ist die Lösungsmenge

des hom . lin. Gleichungssystems

A * x = Nullvektor

Also hier kann x3 beliebig gewählt werden etwa x3=t und dann


hast du  x2 = -t  und   x1 =  -4t -x2 = -4t +t = -3t .


Also sehen die Lösungen alle so aus


(   -3t ; -t ; t )   )  t * ( -3  ; -1 ;  1 )   und die bilden einen


Vektorraum mit der Basis    ( -3  ; -1 ;  1 )   .


Für das Bild geht es um den von den drei Spalten von A erzeugten

Vektorraum.  Wegen rang=2 hat der die Dimension 2, du brauchst also nur zwei


linear unabhängige Spalten auszuwählen, etwa die


ersten beiden und hast eine Basis.


B:    Zeilenstufenform

1 1 0
0 0 1

Also wieder Rang=2 , Kern = {0} also keine Basisund Basis vom Bild wieder zwei lin. unabh. Spalten, also

nicht etwa die ersten zwei, sondern  2. und 3.