Question

Sei K ein Körper und A ∈ Kn×n. Drei der folgenden Aussagen sind äquivalent; welche? Begründen Sie, warum diese Aussagen äquivalent sind, und zeigen Sie anhand von Beispielen, dass die anderen beiden Aussagen nicht äquivalent zu den dreien sind.

1. (a)  Es gibt eine Basis von K^n aus Eigenvektoren von A.

2. (b)  A hat n verschiedene Eigenwerte.

3. (c)  Es gibt invertierbare Matrizen S und T, so dass SAT eine Diagonalmatrix ist.

4. (d)  Es gibt eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D, so dass A = S^{-1}DS ist.

5. (e)  Es gibt eine invertierbare Matrix S, so dass S^{-1}A^T S eine Diagonalmatrix ist. (Zur Erinnerung: A^T ist die zu A transponierte Matrix.) 

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Sei K ein Körper und A ∈ K^n×n. Drei der folgenden Aussagen sind äquivalent; welche? Begründen Sie, warum diese Aussagen äquivalent sind, und zeigen Sie anhand von Beispielen, dass die anderen beiden Aussagen nicht äquivalent zu den dreien sind.

(a) Es gibt eine Basis von Kⁿ aus Eigenvektoren von A

(b) A hat n verschiedene Eigenwerte.

(c) Es gibt invertierbare Matrizen S und T, so dass SAT eine Diagonalmatrix ist.

(d) Es gibt eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D, so dass A = S ⁻¹DS ist.

(e) Es gibt eine invertierbare Matrix S, so dass S ⁻¹A^T S eine Diagonalmatrix ist. (Zur Erinnerung: A^T ist die zu A transponierte Matrix.)

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Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiter helfen ? Ich komme gaaaaar nicht weiter und brauche die Punkte.....

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Du darfst die Resultate aus der Vorlesung verwenden.

Es wäre sinnvoll, wenn du angibst, was ihr dort so gezeigt habt.

Answer 1

äquivalent  sind.

1. (a)  Es gibt eine Basis von Kn aus Eigenvektoren von A.

2. (c)  Es gibt invertierbare Matrizen S und T, so dass SAT eine Diagonalmatrix ist.

3. (d)  Es gibt eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D, so dass A = S−1DS ist.

Begr.:Ist f der Endomorphismus von Kn, der duch A bzgl. der Standardbasis beschriebenwird.  Und   Ist B = { v1, ...vn } Basis von Eigenvektoren zu den Eigenwerten k1 ,...,kn dann gilt   f(vi)  = ki*vi , also  stehen in der i-ten Spalte der Matrix von f bzgl der Basis Ban der i-ten Stelle ki und sonst alles Nullen. Also ist es eine Diagonalmatrix.Seien  S die Matrizen für den Basiswechsel von B zur Standardbasis und zurück, (die sindnatürlich regulär), dann ergibt SAT genau die Matrix von f bzgl B, ist also Diag.matrix.Wie unter (c)  beschrieben, sind S und T die Matrizen der entsprechenden Basiswechsel,also inverse voneinander.

  A hat n verschiedene Eigenwerte. 

Gegenbeispiel: 
   -1 1 1

   -2 2 1

    0 0 1 hat nur die Eigenwerte 0 und 1, aber ist diagonalisierbar.

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Wie soll eine 2x3 Matrix diagonalisierbar sein bei deinem Gegenbeispiel unten?