Wieso ist die Folge mit a_(n+1)=(a_(n)^2)/5 +4/5 monoton fallend?

Question

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge a_n+1=(a_n^2)/5 +4/5

Man kann doch folgendermaßen abschätzen

a_n+1 >(a_n^2)/5  < a_n^2  > a_n  

Also zusammengefasst a_n+1>a_n also sollte die Folge ja monoton steigend und nich fallend sein .

Was stimmt oben bei mir nicht?

Answer 1

an+1 < an

an^2/5 + 4/5 < an

an^2/5 - an + 4/5 < 0

an^2 - 5*an + 4 < 0

1 < an < 4

Comments

Und woher weiß ich das monotonieverhalten aus der letzten Aussage?  Bzw. dein Ergebnis resultiert ja aus der Annahme das die Folge monoton fallend ist.

Kannst du mir noch sagen was oben bei meinen Überlegungen falsch ist?

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Die letzte Zeile bedeutet nur das an monoton fallend ist solange an zwischen 1 und 4 liegt. Nun solltest du noch nachweisen, dass a1 zwischen den werten liegt und an+1 auch über 1 liegen muss wenn an dies ist.

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Ok. Aber wo habe ich denn einen Fehler bei meinen Umformungen gemacht? Ich komme ja zu dem Ergebnis das die Folge monoton steigt was natürlich falsch ist. Aber was habe ich in meiner Frage falsch ausgeführt/abgeschätzt?

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Schon der Anfang

a_n+1 >(a_n²)/5

Du machst hier doch an+1 größer als es ist. das darfst du aber nicht machen um zu zeigen das es kleiner als etwas anderes ist.

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Ich dürfte also nur < verwenden wenn ich monoton fallend zeigen möchte?

Könntest du mir das nochmal mit der Abschätzung richtig zeigen? Wie das also korrekt wäre wenn man es so wie ich machen würde (

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Warum machst du es nicht wie ich es aufgezeigt habe. du brauchst doch nur eine quadratische Gleichung lösen.

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Weil wir das bei rekursiven Folgen bisher immer mit solchen Abschätzungen gemacht haben und ich das halt gerne nochmal analog bei der Aufgabe sehen würde.

Wäre schön wenn du mir das nochmal kurz zeigen könntest wie man von a_n+1 auf ....<a_n kommt, damit ich das nochmal richtig sehe.