n-te Ableitung für f(x)=(e^x-k)^2 angeben?

Question

Ich brauche die n-te Ableitung der obigen Funktion für einen Induktionsbeweis. Wie finde ich die? Danke

Answer 1

Guten Morgen theq,

bei solchen Aufgaben berechnest Du am besten ein paar Ableitungen und versuchst daraus einen allgemeinen Zusammenhang zu konstruieren. 

Pro Ableitung kommt immer "eine 2" zum Koeffizienten des Subtrahenden hinzu. Beachte, dass diese allgemeine Ableitungsgleichung für $$n\geq1\text{ und }n\in\mathbb{N}$$ gilt.

Viel Erfolg bei der vollständigen Induktion!

Grüße

André, savest8

Answer 2

$$ f(x)=(e^x-k)^2\\f'(x)=2e^x(e^x-k)=2({ e }^{ 2x }-ke^x)\\f''(x)=2(2{ e }^{ 2x }-ke^x)\\f'''(x)=2(4{ e }^{ 2x }-ke^x)\\{ f }^{ (n) }(x)=2({ 2 }^{ n-1 }{ e }^{ 2x }-ke^x), n\geq1 $$

Answer 3

f(x) = (e^x - k)²  = e^2x - 2·k·e^x + k²

f '(x) =  2·e^2x - 2·k·e^x

f ''(x) =  4·e^2x - 2·k·e^x

Beh.:  f⁽ⁿ⁾(x) = 2ⁿ·e^2x - 2·k·e^x für alle n ∈ ℕ 

Nachweis mit vollständiger Induktion:

n = 1:     wahr für f ' = f⁽¹⁾

n → n+1:

f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = ( f⁽ⁿ⁾ ) ' (x)  = 2ⁿ · 2 · e^2x - 2·k·e^x  = 2ⁿ⁺¹· e^2x - 2·k·e^x 

Gruß Wolfgang

Comments

Die Induktion brauche ich gar nicht, die will ich selbst machen. Mir ging es nur um die Gleichung. Trotzdem danke:-)

Answer 4

f(x) = (e^x - k)^2 = e^{2·x} - 2·k·e^x + k^2

f'(x) = 2·e^{2·x} - 2·k·e^x

f''(x) = 2·2·e^{2·x} - 2·k·e^x

f'''(x) = 2·2·2·e^{2·x} - 2·k·e^x