Wie beweise ich mit Induktion die n-te Ableitung von e^{ax+b}?

Question

Ich habe die n-te Ableitung zur obigen Funktion bestimmt zu f^{n}(x)=a^ne^{ax+b} und der Induktionsanfang ist auch kein Problem. Probleme bereitet mir der Induktionsschritt . Kann mir bitte jemand den erklären (also wie ich da weiterkomme?)

Answer 1

Mathemagiker,

Deine Formel für die n-te Ableitung ist richtig. Beim Induktionsschritt nutzt Du aus, dass die (n+1)-te Ableitung die Ableitung der n-ten Ableitung ist. Das ist bei Induktionsbeweisen von Ableitungsfunktionen ein gängiges Prozedere. Du erhältst also: 

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Hilft Dir das weiter? Wenn Du etwas nicht verstehen solltest, dann zögere nicht nachzufragen!

André, savest8

Answer 2

Es ist  f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f⁽ⁿ⁾'(x). Das heißt die (n+1)-te Ableitung ist die erste Ableitung der n-ten Ableitung. Leite also aⁿ e^ax+b nach x ab und prüfe ob das tatsächlich aⁿ⁺¹ e^ax+b ergibt.