Umformen/Vereinfachen der zweiten Ableitung einer Funktion

Question

Ich bereite gerade eine Kurvendiskussion für die folgende Funktion vor:

(x²+2x+8)/(4x-8)

Mit der Quotientenregel erhalte ich folgende erste Ableitung:

(x²-4x-12)/(4x²-16x+16)

Die zweite Ableitung habe ich dann anschließend erneut mit der Quotientenregel gebildet und folgenden Term erhalten:

(128x-256)/(16x⁴-128x³+384x²-512x+256)

Online zeigen diverse Rechner jedoch einen wesentlich einfacheren Term an:

8/(x³-6x²+12x-8)

Mit GeoGebra habe ich die beiden Funktionen überprüft und herausgefunden, dass sie identisch sind.

Mein Problem ist jedoch, dass ich von meiner zweiten Ableitung nicht auf die kürzere Form gelange.

Vorab vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

(x²+2x+8) / (4x-8)

Zunächst eine Vereinfachung durch eine
Polynomdivision

f ( x ) =  x / 4  +  1  +  4 / ( x - 2 )

f ´ ( x ) = 1 / 4 - 4 / ( x -2 )^2
f ´´ ( x ) = 4 * 2 * ( x - 2 ) / ( x -2 )^4

f ´´ ( x ) = 8  /  ( x -2 )^3

Answer 2

> (128x-256)/(16x⁴-128x³+384x²-512x+256)

Kürze mit 16. Dividiere dann den Nenner durch den Zähler mittels Polynomdivision. Bilde zum Schluss den Kehrwert des Ergebnisses.

Answer 3

Ich denke Du kannst 16 im Nenner ausklammern und der Nenner hat eine Nullsttelle bei \( x = 2 \) dass sollte zum Ergebnis führen.

Answer 4

f '(x) = (x²+2x+8) / (4x-8)²

f "(x) = \(\frac{(2x+2)*(4x-8)^2+(x^2+2x+8)*2*(4x-8)*4}{(4x-8)^4}\)

Jetzt kannst du den Faktor (4x-8) im Zähler einmal ausklammern und wegkürzen, dann erhältst du im Nenner (4x-8)³ und nach ausklammern 4³ *(x-2)³ . Wenn du dann im Zähler ausmultiplizierst und zusammenfasst, ergibt nach Kürzen durch 64

f "(x) = \(\frac{8}{x-2)^3}\) = \(\frac{8}{x^3-6x^2+12x-8}\)

Gruß Wolfgang