Lösen sie diese Gleichung nach x auf √(x-1) + √(x+8) = 9

Question

 $$ \sqrt { x-1 } +\sqrt { x+8 } =\quad 9 $$

Comments

Quadriere links und rechts und später nochmals, nachdem du die einzige Wurzel, die du links noch hast, isoliert hast. 

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wieso komme ich auf  x = 37 ?

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Betrachte die vorhandenen Antworten und die binomische Formel beim Quadrieren. 

Du darfst auch deine Rechnung zeigen.

x=37 passt nicht. Probe

√(37-1) + √(37+8) = 9  

6 + √45 ≠ 9 

Answer 1

√(x-1) + √(x+8) = 9         quadrieren

(x-1) + 2* √(x-1)(x+8) + x+8 = 81 

2* √(x-1)(x+8) + 2x+7 = 81

2* √(x-1)(x+8)  = 74 -2x   |  : 2

√(x-1)(x+8)  = 37-x      quadrieren

(x-1)(x+8) = (37-x) ²  

        x² +8x - x - 8 =  1369 - 74x + x²  

                     8x - x - 8 =  1369 - 74x 

                        81x =  1377

                            x= 17 

Probe (ist nötig)

x=17        √16 + √25 = 9    stimmt!

Answer 2

$$ \sqrt { x+8 } + \sqrt { x-1 } = 9 $$

Nach dem Tauschen der Summanden auf der linken Seite sehen wir, dass die Differenz der Radikanden offenbar 9 ergibt, also identisch mit der Summe der Radikale (linke Seite der Gleichung) ist. Das ist schön, denn dann gilt

$$ \sqrt { x+8 } + \sqrt { x-1 } = \sqrt { x+8 }^2 - \sqrt { x-1 }^2 $$Wir dividieren durch die linke Seite und erhalten mit

$$ 1 = \sqrt { x+8 } - \sqrt { x-1 } $$eine Aussage über die Differenz der Radikale. Subtrahieren wir diese Differenz von der ursprünglichen Summe, so bekommen wir die Gleichung

$$ 2 \cdot \sqrt { x-1 } = 8 $$die leicht auf \(x=17\) führt.

Answer 3

√(x+8) = 9-√(x-1). Zum ersten Mal quadrieren x+8=81-18√(x-1)+x-1 Zusammenfassen -72=-18√(x-1). oder 4=√(x-1). Zum zweiten Mal quadrieren 16=x-1 oder x=17. Probe nicht vergessen.

Answer 4

√ ( x -1 ) + √ ( x + 8 ) =  9  | quadrieren
( √ ( x -1 ) )^2 + 2 * √ ( x -1 ) * √ ( x + 8 )  + √ ( x + 8 )^2  =  81
x -1  +  2 * √ [( x -1 )*( x + 8 )]  + x + 8 = 81
2*x + 7 +  2 * √ ( x^2 +7x  - 8 ] = 81
2 * √ ( x^2 +7x  - 8 ) = -2x + 74  | quadrieren
4 * ( x^2 +7x  - 8 ) = ( -2x + 74 )^2

Kannst du den Rest allein ?

Zur Kontrolle x = 17

Answer 5

√(x-1) + √(x+8) = 9

ich meine, so rechnet es sich am einfachsten:

√(x-1) = 9 - √(x+8)   | ²

x-1 = 81 - 18 * √(x+8)  + x + 8   | + 18 * √(x+8)  | - x | -1

18 * √(x+8) = 90  | : 18

√(x+8) = 5  | ²

x+8 = 25 | - 8 

x = 17 

Wegen des Quadrierens notwendige Probe in der Ausgangsgleichung ergibt eine wahre Aussage.

Gruß Wolfgang

Comments

Einfacher als was? Das ist eine Variante von Rolands Vorschlag und m. E. doch ähnlich einfach oder?

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> Einfacher als was?

Dann hast du ja noch 3 Auswahlmöglichkeiten.