Satz des Pythagoras in räumlichen Figuren erklären. Dreieck im Würfel

Question

Hallo könnt ihr mir diese aufgabe erklären

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EDIT: Beachte die Rechtschreibung beim Namen des Satzes. Habe den nun in 2 deiner Überschriften schon korrigiert.

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https://www.mathelounge.de/88939/satz-des-pythagoras-in-raumlichen-figuren

Da sparst du dir die Wartezeit.

Answer 1

Die Kantenlänge des Würfels ist 6 cm , denn 6³=216.

Dann gilt für die Seite a= AB a²=3²+6² und dann a=√(9+36) =√45=3√5. Die Seite BC ist genau so lang. Die Raumdiagonale AC im Würfel mit der Kantenlänge 6 ist √(6²+6²+6²) oder AC=6√3.

Answer 2

HI,
$$ V = a^3 = 216 \Rightarrow a=6 $$
$$ \overline{BC} = \overline{BA} = \sqrt{6^2+3^2} = 3\sqrt{5} $$
$$ \overline{AC} = \sqrt{ \left( \sqrt{6^2 + 6^2} \right)^2 +6^2 } = 6 \sqrt{3} $$

$$  U = \overline{BC} + \overline{BA} + \overline{AC}  $$

$$ F = \frac{\frac{\overline{AC}}{2} \cdot \sqrt{ \overline{BC}^2 - \left( \frac{\overline{AC}}{2} \right)^2} }{2}  $$

Answer 3

wenn der Würfel ein Volumen von \(216\text{cm}^2\) hat, so ist seine Kantenlänge \(6\text{cm}\). Die Strecke \(AB\) lässt sich dann nach Pythagoras berechnen:

$$AB=\sqrt{(6\text{cm})^2+(3\text{cm})^2}=3\sqrt{5}\text{cm} \approx 6,708\text{cm} $$

Die Strecke \(BC\) ist genau so lang wie \(AB\) und für die Berechnung der Strecke \(AC\) bestimmt man zunächst die Diagonale \(d\) (schwarz eingezeichnet) - \(d=\sqrt{(6\text{cm})^2+(6\text{cm})^2}=6\sqrt{2}\text{cm}\). Die Strecke \(AC\) läuft wieder über den Pythagoras, da \(d\) auf der senkrechten Kante, die von \(C\) ausgeht, senkrecht steht.

$$AC=\sqrt{ (6\text{cm})^2 + (6\sqrt{2}\text{cm})^2 }=6\sqrt{3}\text{cm}$$ Der Umfang \(U\) ist dann

$$U=AB+BC+AC=2\cdot 3\sqrt{5}\text{cm}+ 6\sqrt{3}\text{cm} \approx 23,81\text{cm}$$

Die Höhe des Dreiecks ist identisch zur Hälfte der Strecke \(BB\prime\), die wiederum ist so lang wie \(d\) (s.o.) Daraus folgt dann die Fläche

$$F=\frac{1}{2}AC \cdot \left( \frac{1}{2} BB\prime\right)=\frac{1}{2}6\sqrt{3}\text{cm}  \cdot \frac{1}{2}6\sqrt{2}\text{cm}=9\sqrt{6}{\text{cm}}^2 \approx 22,05 {\text{cm}}^2$$