f(x)=x*sinx Gerade, ungerade oder keines von beidem?

Question

Mein Lösungsansatz:

1. Ich prüfe ob f(x) = f(-x)

Also als erstes mache ich folgendes:

f(-x) = (-x) * sin(-x)
f(x) = (x) * sin(x)

(-x) * sin(-x) ≠ (x) * sin(x)

Rein anschaulich betrachtet ist es nicht gleich, deswegen würde ich sagen NEIN.

Aber, wenn ich innerhalb von f(-x) sin(-x) = "Ergebnis ist eine negative Zahl" rechne und dann nochmal *(-x) = "positive Zahl" kommt dabei eine positive zahl als Gesamtergebnis heraus,

Das ist das gleiche wie bei f(x) = (x) * sin(x), als Resultat sollte hier auch eine positive Zahl als ergebnis herauskommen. 
In diesem sinne sollte f(x)=f(-x) sein.

2. Ich komme nicht weiter
Oder auf was muss ich schauen um herauszufinden ob gerade, ungerade, oder keines von beiden?

Answer 1

Der Sinus ist auch eine ungerade Funktion, also kannst du weiterechnen:

$$ f(-x)=(-x)*sin(-x)=-x*(-sin(x))=x*sin(x)=f(x) $$

Also ist die Gesamtfunktion f(x) gerade.

Comments

f(−x)=(−x)∗sin(−x)=−x∗(−sin(x))=x∗sin(x)=f(x)

f(−x)=(−x)∗sin(−x)=−x∗(−sin(x))=x∗sin(x)=f(x)

f(−x)=(−x)∗sin(−x)=−x∗(−sin(x))=x∗sin(x)=f(x)

Also hier rechnest du was f(-x) überhaupt ist, du sagst folgendes

f(-x) = (-x) * sin(-x)
/du siehst das "sin(-x)" eine negative Zahl ergibt, also machst du aus dem ausdruck sin(-x) = (-sin(x)) und sagst somit sin(-x) = (-sin(x))

f(-x) = (-x)*sin(-x) = (-x) * (-sin(x)) 
/weiter siehst du das negativ*negativ = positiv, also schreibst du das um

f(-x) = (-x) * sin(-x) = (-x) * (-sin(x)) = x * sin(x) 
/Du siehst, dass der ausruck der dabei entsteht, nichts anderes als f(x) ist also schreibst du =f(x)


f(-x) = (-x) * sin(-x) = (-x) * (-sin(x)) = x * sin(x) = f(x)

jetzt habe ich es verstanden ! :)
(wenn meine gedankengänge stimmen)

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Deine Gedankengänge stimmen :-)

Allerdings ist  sin(-x) = - sin(x) eine bekannte Formel, die sich einfach daraus ergibt, das f(x) = sin(x) über ℝ symmetrisch zum Ursprung ist.

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Ah Klar, die sinusfunktion ist Symmetrisch zum ursprung, deswegen sin(-x) = -sin(x) weil wenn man die Symmetrie bei der kurven diskussion untersucht, ist es symmetrisch zum Ursprung wenn gilt,

f(-x) = -f(x)  (wenn ich das korrekt in erinnerung habe.)

Sinusfunktion ist  symmetrisch zum Ursprung also gilt,

sin(-x) = -sin(x)

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So ist es  #############

Answer 2

Hast alles richtig überlegt

f(-x) = (-x) * sin(-x)   = (-x) * (- sin(x) ) = x * sin(x)  = f(x) 

Also gerade. 


 

Answer 3

Hallo limonade,

f(x) = x * sin(x)

Es gilt  sin(-x) = -sin(x)

→   f(-x) = -x *(-sin(x)) = x * sin(x) = f(x)

die Funktion f ist also gerade        ( Graph symmetrisch zur y-Achse)

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank, habs so weit verstanden aber nicht gant was mit "gerade" tatsächlich gemeint ist.

Also gerade bedeutet dass ich für beide Varianten stets das gleiche resultat bekomme oder bedeutet das wie einfach die symmetrie zur y-Achse ? 

bei meiner variante bekomme ich ja in beiden Fällen f(x) sowie f(-x) ein positives ergebnis heraus, sprich die funktion ist gerade. bekäme ich aber bei einer der beiden varianten ein negatives und bei der anderen variante ein positives, wäre dann die f(x)≠f(-x) und somit ungerade? 

Oder meint diese Aufgabe den selben Vorgang wie bei der Disskussion von Funktionen die "Untersuchung auf Symmetrie" nur dass es sich hier um Sinusfunktionen handelt ?

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Das ist eigentlich alles richtig.

D_f sei symmetrisch zum Ursprung:

f(-x) =_D  f(-x)   ⇔  G_f  symmetrisch zur y-Achse  ⇔  f gerade

Der Begriff "gerade" für solche Funktionen hat wohl damit zu tun, dass Polynomfunktionen  genau dann achsensymmetrisch sind, wenn alle Exponenten von x gerade sind.

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Topp, vielen Dank Wolfgang ! :)

Answer 4

Man kann übrigens verallgemeinern:

Sei f ungerade und g ungerade, so ist h:= f*g gerade.

Beweis dazu kannst du gleich rechnen, wie dieses Beispiel

h(-x) = f(-x)*g(-x) = -f(x) * (-g(x)) = f(x) * g(x) = h(x)

Comments

Gerade und ungerade bezieht sich auf die Symmetrie des Graphen zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung:

https://youtu.be/k3phlEIcd4Q