Gleichung für das Springen eines Balls

Question

In einem Mathebuch (Algebra für Dummies) geht es um folgende Problemstelltung:

Sie möchten den gesamten Weg (runter und rauf und runter und rauf und runter...) eines Gummiballs  herausfinden,  den  er bei n-maligem Auftreffen auf dem  Boden zurücklegt, wenn er immer 75 Prozent der Strecke zurückspringt, die er davor gefallen ist. Nehmen wir an, Sie lassen den Gummiball aus einem 40 Meter hohen Fenster auf einen schönen, glatten Gehsteig fallen. 

Zur Lösung ist folgende Formel angegeben:

Sie brauchen folgende Gleichung: gesamter Weg = 40 + 240  [1 -  0,75^n] 

Leider ist im Buch nicht angegeben, wo die 240 herkommt. Diese Konstante kann ich mir nicht erklären.

Weiß jemand Rat?

Comments

$$240 \text{m}=2 \cdot 40\text{m} \cdot \frac{0,75}{1-0,75}$$

Erklärung folgt später ... falls es kein anderer macht ;-)

Answer 1

Ich denke, das ist so:

Erst fällt der Ball 40.  

Gesamtweg 40

Dann springt er 40*0,75 wieder hoch und fällt

dann 40*0,75 wieder runter .
Geamtweg nach 1x springen   40+2*40*0,75   = 40 + 80*0,75

Dann springt er 40*0,75² wieder hoch und

auch wieder runter

Geamtweg nach 2x springen    40 + 80*0,75 + 80*0,75²    

etc.  Also

Geamtweg nach n x springen    40 + 80*0,75 + 80*0,75²    + .... +  80*0,75ⁿ    

Das blaue ist eine geometrische Reihe mit a=80*0,75=60 und q=0,75 also nach der

Summenformel   a * ( 1 - qⁿ⁺¹) / (1-q)  gibt das

60 * ( 1 - 0,75ⁿ⁺¹ ) / 0,25  =  240 * ( 1 - 0,75ⁿ⁺¹ ) also der Gesamtweg nach n Sprüngen

40 + 240 * ( 1 - 0,75ⁿ⁺¹ ) .  Nun ging es bei dem n aber nicht um die Zahl der

Sprünge, sondern um die Zahle der Bodenberührungen, das ist 1 weniger.

Answer 2

Das Hüpfverhalten entspricht einer geometrischen
Reihe

Höhe
1  40 * 0.75^0 m
2  40 * 0.75 = 40 * 0.75^1 m
3. 40 * 0.75 * 0.75 = 40 * 0.75^2 m

Formel für die geometrische Reihe bis unendlich
1 / ( 1 - q ) = 1 / ( 1 -0.75 ) = 4

Anfangshöhe * 4 = 40 * 4

Die Höhe wird bei jedem Hüpfer aber 2 mal durchlaufen

2 * 40 * 4

Der 1.Hüpfer findet nur als Abwärtsbewegung statt
2 * 40 * 4 - 40

280 m

Bei  der in deiner Aufgabe angegebenen Formel
kommt auch 280 m heraus.

mfg Georg

Comments

Vielen Dank für die Antworten. 
Ist ja doch komplizierter als ich erst dachte.

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Zur Beantwortung war notwendig

- die Erkenntnis wie der nächste Hüpfer
zustande kommt. ( vorherige Höhe mal 0.75 )
- Wissen das es sich bei der Summe um eine
geometrische Reihe handelt

- Die Formel habe ich auch nachgeschaut.

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Die 240 muss ja irgendwie mit der 40 zusammenhängen, soweit war ich immerhin.

Interessantes Thema, das ich mir mal anschauen werde (geometrische Reihe).

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Sie brauchen folgende Gleichung:
gesamter Weg = 40 + 240  [1 -  0,75ⁿ]

Das ist schon eine merkwürdige Hilfe.

Aber einfach angewendet mit n = ∞ ergibt sich

gesamter Weg = 40 + 240 *  [1 -  0,75 ^∞ ]
gesamter Weg = 40 + 240  * [ 1 ]
gesamter Weg = 280 m

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Gut in der Praxis müsste man n wohl begrenzen, kein Ball würde wohl unendlich oft springen. :-)

Aber ein idealer Ball würde doch immer weniger Weg zurücklegen, insofern kommt das doch hin.

Wenn ich den Ball 10.000 mal springen lasse beträgt der Weg immerhin

279.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\

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340940 Meter

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