Einfache Anwendungsaufgabe

Question

Auf einer Teststrecke wird gemessen, wie viel Benzin ein Pkw bei gleichbleibender Geschwindigkeit verbraucht. Dabei hängt der Benzinverbrauch f in Liter pro 100km quadratisch von der Geschwindigkeit v in Kilometer pro Stunde ab: f(v)=av^2+bv+7

I v=30; f(v)=6.25

I v= 80;f(v)=7

Mit welchem Verbrauch ist bei durchschnittlich 120 km pro Stunde zu rechnen?

Ich weiß, dass diese Aufgabe sehr einfach sein sollte allerdings weiß ich nichts über die Herangehensweise, wäre nett wenn jemand da behilflich sein könnte.

Danke

Answer 1

Die Gleichung für den Benzinverbrauch ist

$$f(v)=av^2+bv+7$$

mit der Angabe, dass \(f(30)=6,25\) und \(f(80)=7\). Die Konstanten \(a\) und \(b\) kann man durch einfaches Einsetzen ermitteln:

$$f(30) = a \cdot 30^2 + b\cdot 30 + 7 = 6,25$$

$$f(80) = a \cdot 80^2 + b \cdot 80 + 7 = 7$$

sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten \(a\) und \(b\). Die Lösung ist \(a=0,0005\) und \(b=-0,04\). Der Benzinverbrauch in l/100km ist also

$$f(v)=0,0005 \cdot v^2 - 0,04 \cdot v +7$$

und bei 120kmh ist \(f(120)=9,4\).

Gruß Werner

Comments

Wie löst man die Gleichung auf man hat ja zwei Variablen?

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... man hat ja zwei Variablen?

Ja und zwei Gleichungen. Im Allgemeinen reicht das, um die Unbekannten zu berechnen: $$a \cdot 30^2 + b\cdot 30 + 7 = 6,25 \\ a \cdot 80^2 + b \cdot 80 + 7 = 7$$ Multipliziere die erste mit 8 und die zweite mit 3 $$a \cdot 30^2 \cdot 8 + b\cdot 240  = -6 \\ a \cdot 80^2 \cdot 3 + b \cdot 240  = 0$$ dann beide von einander abziehen $$\begin{aligned}a\cdot (80 - 30) \cdot 240 &= 6 && \left| \div 12000\right. \\ a &= 0,0005 \end{aligned}$$ aus der zweite Gleichung von oben folgt $$\begin{aligned} a \cdot 80 + b&= 0 && \left| - 80a\right. \\ b &= -80a \\ b &= -0,04\end{aligned}$$