Ist die doppelte (unendliche) Reihe der reziproken Primfakultäten gleich Wurzel aus 2?

Question

Ist die doppelte (unendliche) Reihe der reziproken Primfakultäten (Primorials) gleich Wurzel aus 2 ? Also:

2*(1/2+1/2*3+1/2*3*5+1/2*3*5*7+ ...) = Wurzel 2 ?

Comments

Vielleicht lässt sich die Summe mit der geometrischen Reihe wie folgt abschätzen:$$\tfrac12s<\frac12+\frac1{2\cdot3}+\frac1{2\cdot3\cdot5}\cdot\sum_{k=0}^\infty\left(\frac17\right)^{\!k}\\\quad=\frac23+\frac1{30}\cdot\frac1{1-\frac17}=\frac{127}{180}<\tfrac12\sqrt2.$$

Answer 1

das ist eine wirklich sehr interessante Frage! In welchem Kontext hast Du sie Dir gestellt?

Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante, nämlich

 

Wenn wir uns jedoch die Hälfte von \(\sqrt{2}\) mit WolframAlpha ausgeben lassen (siehe hier), dann stellen wir fest, dass diese beiden Werte nicht identisch sind. Ab der Tausendstel-Stelle differieren die Ergebnisse. Aus diesem Grund behaupte ich, dass die eingangs aufgestellte Behauptung nicht zutrifft.

Konnte ich Dir mit meinen Überlegungen weiterhelfen?

André, savest8

Comments

Mir ist in meiner obigen Darstellung noch ein kleiner Fehler aufgefallen. Gemeint ist natürlich der reziproke Wert, also:

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Ach so, der Kontext. Spielerei in einer schlaflosen Nacht.

Answer 2

Von dieser alten mathematischen Konstante A064648 kennt man schon über 20000 Stellen:

http://oeis.org/A064648

Aber das hat nichts mit primitiven Wurzeln zu tun!

Selbst 404*sqrt(3)/4403+9179*sqrt(5)/12580+22129*ln(7)/44030-24551*Pi/44030-(4849*sqrt(2))/22015

, oder 8278127198827208 / 11738192054084561

 die beide mit etwa 30 Stellen übereinstimmen, haben nichts mit dieser Konstante zu tun!

40 Nachkommastellen ist das Mindeste was übereinstimmen muss, damit ein Verdacht näher überprüfungswert ist, da es über 300 Funktionen und deren Kombinationen zu unendlich vielen Möglichkeiten führt.

Das Produkt der Primzahlen hat sogar einen eigenen Funktionsnamen bekommen. Unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

findet man bei der Suche nach PrimeFactorial die 2 unterschiedlichen Interpretationen von WolframAlpha und factordb.com (Parameter y mal 1 oder was anderes).