Nullstellen einer Gleichung bestimmen: (x^2 + y^2)^2 + 1/2·(x^2 + y^2) - 2 = 0

Question

Hallo zs,
weiß jemand von euch, wie man bei der folgenden Gleichung die Nullstellen bestimmen soll
$$ (x^2+y^2)^2 + \frac{1}{2}(x^2+y^2) - 2 = 0$$
Ich habe zwei Unbekannte aber nur eine Gleichung.

Mfg Sabrina

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Wenn du das implizit meinst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+%2B+y%5E2)%5E2+%2B+1%2F2%C2%B7(x%5E2+%2B+y%5E2)+-+2+%3D+0

Suchst du vielleicht die beiden Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse?

Da kannst du in der Tat einfach y=0 einsetzen.

Kannst du auch gegen Schluss machen bei den beiden vorhandenen Rechnungen.

Answer 1

Meinst du das so ?

(x^2 + y^2)^2 + 1/2·(x^2 + y^2) - 2 = 0

z^2 + 1/2·z - 2 = 0 --> z = - √33/4 - 1/4 ∨ z = √33/4 - 1/4

x^2 + y^2 = √33/4 - 1/4

Oder ist das eine zweidimensionale Gleichung und die Nullstellen sind bei y = 0

(x^2 + 0^2)^2 + 1/2·(x^2 + 0^2) - 2 = 0

x^4 + 1/2·x^2 - 2 = 0

z^2 + 1/2·z - 2 = 0 --> z = - √33/4 - 1/4 ∨ z = √33/4 - 1/4

x^2 = √33/4 - 1/4

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Es ist eine zweidimensionale Gleichung.

Kannst du dann einfach y=0 setzen??

Und $$z=x^2+y^2$$ richtig?

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x⁴ + 1/2·x² - 2 = 0

Ersetzen x^2 = z

z² + 1/2·z - 2 = 0

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Lösung in Worten
Es gibt unendlich viele Wertepaare x,y
welche die Ausgangsgleichung erfüllen
Bedingung
x² + y² = (√33) / 4 - 1/4

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Wenn es eine zweidimensionale Gleichung ist. Also eine implizite Funktion, dann kann ich einfach y gleich Null setzen und nach y-Auflösen.

Bsp.

Explizite Form: y = mx + b

Implizite Form: mx - y + b = 0

Da kann ich y = 0 setzen und dann nach x auflösen.

Anders sieht es aus, wenn x und y beide unabhängig sind und einen Funktionswert bilden.

f(x, y) = ... = 0

Dort ist dann eine Kombination aus x und y zu finden, das der Funktionswert 0 ist.

Ich habe oben versucht beide Fälle entsprechend zu berücksichtigen. Hilfreich wäre es, wenn du die genaue Aufgabenstellung schreiben könntest. Daraus sollte hervor gehen, was genau gemeint ist.

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die komplette Aufgabenstellung lautet:

Sei $$ \lambda, \mu \in \mathbb R $$ und $$ f_{\lambda, \mu}: \mathbb R^2 \to \mathbb R$$ durch

$$ f_{´\lambda, \mu} = (x^2+y^2)^2 + \mu (x^2+y^2) + \lambda $$ definiert.

- Berechnen Sie die Nullstellen $$(x,y) \in \mathbb R^2$$ für $$ f_{-2,\frac{1}{2}}$$

-An welchen derjenigen Punkten definiert $$ f_{-2,\frac{1}{2}}$$ eine implizite Funktion

So lautet die komplette Aufgabenstellung

Answer 2

Ergänze die linke Seite quadratisch und forme um:

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + \frac{1}{2}\cdot\left(x^2+y^2\right) - 2 = 0 $$

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + 2\cdot\left(x^2+y^2\right)\cdot \frac{1}{4} = 2 $$

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + 2\cdot\left(x^2+y^2\right)\cdot \frac{1}{4} + \left(\frac 14\right)^2 = 2 + \left(\frac 14\right)^2 $$

$$ \left(x^2+y^2 + \frac 14\right)^2 = 2 + \left(\frac 14\right)^2 $$

$$ x^2+y^2 = - \frac 14 + \sqrt{2 + \left(\frac 14\right)^2} $$

$$ (x-0)^2+(y-0)^2 = \left(\sqrt{- \frac 14 + \sqrt{2 + \left(\frac 14\right)^2}}\right)^2 $$Die letzte Zeile ist die Mittelpunkt-Radius-Form eine Kreises.

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Danke für die Herleitung. Ich sehe aber leider immer noch nicht wie ich an die Nullstellen kommen soll

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Die Nullstellen sind die Punkte auf dem beschriebenen Kreis.