Matrizengleichung lösen: X · A + X · B = C wie bekomme ich X heraus?

Question

Der Titel sagt schon fast alles... wie stelle ich die gleichung nach x um? bitte mit zwischenschritten :)

Matrizengleichung lösen: X · A + X · B = C wie bekomme ich X heraus?

Answer 1

X · A + X · B = C

X ( A+B ) = C         | multipliziere von rechts mit der Inversen (A + B)^{-1}

X * (A+B)*(A+B)^{-1} = C*(A+B)^{-1}

X = C*(A+B)^{-1}  

Damit diese Lösung existiert, muss die Matrix  A + B invertierbar sein. 

Comments

Letzteres stimmt so nicht. Falls beispielsweise \(A+B=C\) gilt, hat die Gleichung auch dann die Lösung \(X=I\), wenn \(A+B\) singulär ist.

---

Ok. Danke für den Hinweis. Habe nun oben "diese" geschrieben.

Falls A+B = C muss man nicht invertieren:

X ( A+B ) = C 

X*C = C ,

Hier kann X z.B. die Einheitsmatrix E sein. Es kann aber auch mehr Lösungen geben, wenn C singulär ist.  

Answer 2

Du möchtest nur die Gleichung nach x aufgelöst bekommen?:

XA+XB = C                  [X ausklammern]

=> X*(A+B) = C           [geteilt durch X]

=> A+B = C/X              [mal X]

=> (A+B)*X = C           [geteilt durch (A+B)]

=> X = C/(A+B)

Comments

Mit reellen Zahlen hättest du (fast) recht:

X = C/(A+B)  mit Klammern um den Nenner. 

Die Grossbuchstaben sollen aber gemäss Fragestellung Matrizen darstellen. 

---

Genau, die Klammer habe ich vergessen! :)

Achso, ja dann ist deine Lösung natürlich passend.