Stationäre Punkte bestimmen mit zwei variablen

Question

Hallo :)

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich die Stationären Punkte bestimmen soll.

Ich habe die Funktion partiell abgeleitet.

Für die Ableitung nach x: 3x^2-6xy+3y^2

und nach y: -3x^2+6xy-3

ich weiß, dass ich nun die beiden Ableitungen 0 setzen muss bzw. eine Ableitung nach x oder y auflösen und in die andere Ableitung einsetzen. Doch ich weiß nicht, wie ich die Ableitungen nach x oder y auflösen kann, da ja 2 variablen vorhanden sind und zudem noch das quadrat.

Kann auch sein, dass ich grad aufm Schlauch stehe.

Danke für jede Hilfe =)

Answer 1

- 3·x^2 + 6·x·y - 3 = 0 --> y = (x^2 + 1)/(2·x)

3·x^2 - 6·x·y + 3·y^2 = 0

3·x^2 - 6·x·((x^2 + 1)/(2·x)) + 3·((x^2 + 1)/(2·x))^2 = 0

3·(x^4 - 2·x^2 + 1)/(4·x^2) = 0

x^4 - 2·x^2 + 1 = 0

(x^2 - 1)^2 = 0

x = -1 ∨ x = 1 Jeweils als doppelte Nullstellen.

Answer 2

Wenn ich deine Ableitung wieder integriere
kommt nicht dieselbe Stammfunktion heraus.

Wie lautet deine Ausgangsfunktion ?

mfg Georg

Comments

Die zugehörige Ausgangsfunktion lautet

f(x,y)=x^3-3x^2 y+3xy^2-3y+C

Answer 3

es ist

$$ 3x^2-6xy+3y^2=3(x-y)^2=0\\--> x=y\\\text{einsetzen in 2te Gleichung:}\\ -3x^2+6xy-3= -3x^2+6x^2-3=0\\3x^2=3\\x=\pm1=y \\\text{die stationären Stellen lauten somit: } \vec{ { x }_{ 1 } }=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix},\vec{ { x }_{ 2 } }=\begin{pmatrix} -1\\-1\end{pmatrix} $$