Scheitelbestimmung Krümmung einer Funktion

Question

Servus Leute,

ich hätte da mal eine Frage zur Bestimmung des Scheitels einer Funktion

f(x)= x^4

jetzt  habe ich als ersten Schritt die Krümmung bestimmt und bin auf K = 3/ 16 x^7 gekommen

nun habe ich die erste Ableitung gebildet und bin dann auf -21/16 * x^-8 gekommen.

Aber jetzt weiss ich nicht mehr weiter, könntet ihr bitte meine Ergebnisse überprüfen und auf eventuelle Fehler hinweisen.

Ciao Rellis

Comments

Was meinst du genau?

Scheitelpunkte gibt es eigentlich nur bei Kegelschnitten und Parabeln. https://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt

Dort kommt vielleicht x^2 aber nicht x^4 vor.

Was hast du genau gerechnet, um auf K zu kommen?

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Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven. (c) https://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt

Allerdings ist auch mir unklar, wie du auf die Krümmung kommst. Es gilt für den Krümmungsradius

r(x) = (1 + f'(x)^2)^{3/2} / f''(x)

Damit würde ich aber auf etwas anderes kommen.

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Danke für die Kommentare.

als formel für die Krümmung Kappa. habe ich

K = f''(x)/(1+ ( f'(x))^2 ) ^{3/2} hergenommen

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Ok. Dann ist Kappa ja nur der Kehrwehrt des Krümmungsradiusses. Damit solltest du aber auch auf eine andere Funktion für K kommen.

Hier mein Ergebnis für den Krümmungsradius

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1+%2B+(x%5E4)%27%5E2)%5E(3%2F2)+%2F+(x%5E4)%27%27

Damit kommt man auf eine Extremstelle von

x = 1/(sqrt(2) 7^{1/6}) = 0.5112523636

Answer 1

f(x) = x^4

Wir suchen die Punkte an denen der Krümmungsradius am kleinsten ist.

r(x) = (1 + f'(x)^2)^{3/2}/f''(x) = (16·x^6 + 1)^{3/2}/(12·x^2)

r'(x) = √(16·x^6 + 1)·(56·x^6 - 1)/(6·x^3) = 0

56·x^6 - 1 = 0

x = ± (1/56)^{1/6} = ±0.5112523636

Comments

Danke Mathecoach für die Antwort.

ich bin deine Rechnung Schritt für Schritt durchgegangen und kann eigentlich alles verstehen.

Also du hast dir zuerst den Radius ausgerechnet, wo ich einfach nur mehr den Kehrwert bilden musste und dann hast du den kleinsten Radius bestimmt indem du die erste Ableitung des Radius bildest und diese dann 0 setzt. Die Rechnung der ersten Ableitung habe ich geschafft und natürlich auch das Nullsetzten.

Jetzt stellt sich für mich noch die Frage, wieso du die erste Ableitung bildest?

Könntest du das mir irgenwie verständlich erklären. Danke dir

:-)

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"und dann hast du den kleinsten Radius bestimmt indem du die erste Ableitung des Radius bildest und diese dann 0 setzt."

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist ja das die erste Ableitung Null wird.

Du könntest auch deine Funktion der Krümmung ableiten und Null setzen.

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Ok danke. Also ich kann auch die Ableitung der Krümmungsfunktion 0 setzen und komm dann auf +-0,511

Ciao Rellis :-)

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Der Kehrwert 1/x ist im positiven als auch im negativen Bereich monoton. Damit gibt diese Funktion die gleichen Extremstellen.

Heißt dort wo die Krümmung am größten ist hat man den kleinsten Krümmungsradius und umgekehrt.

Answer 2

f(x)= x⁴  hat seinen Scheitel (tiefsten Piunkt) bei x=0 also im Punkt (0;0). 

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Wer hat den Scheitel als Hoch oder Tiefpunkt definiert?

Ich hatte oben schon die Definition aus Wikipedia notiert.

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt

Wenn du eine andere hast bitte dazu auch die Quelle angeben.

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Die Scheitelpunkte sind die Schnittpunkte der Kurve mit der Symmetrieachse.

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Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Bitte nichts weglassen oder hinzufügen.

Ist denn die Funktion y = x^4 eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel ?