Für welche reellen Zahlen a ist (Vektor) x nicht als Linearkombination darstellbar?

Question

Kann mir jemand die a & b vorrechnen, damit ich so ein "Muster" habe; wie ich an diese Aufgaben ran gehen sollte? Vielen Dank LG

Answer 1

Hi Nikiiii,

stell ein Gleichungssystem auf:

x = r*a + s*b

0 = ar + 2s

9 = 6r + 3s

Erste nach s auflösen und in zweites einsetzen:

s = -ar/2

9 = 6r - 3ar/2

Zweites durch 3

3 = 2r-ar/2

r ausklammern und durch klammer dividieren

3/(2-a/2) = r

Für r gibt es immer eine Lösung, außer wenn der Nenner 0 ist, also für a = 4.

Mach das auch für die anderen so. Versuche Aussagen über r und s treffen zu können :).

Grüße

Comments

Super :D & was lässt sich dann anhand des Ergebnisses sagen? Bzw. Was ist die Schlussfolgerung?

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Eine Linearkombination beider Vektoren um x zu erhalten, funktioniert ja, indem man beide Vektoren mit einem Skalar addiert (hier r und s) und dann auf x kommt. Man löst also obiges Gleichungssystem und schaut, ob es für jedes a eine Lösung gibt. Hier haben wir herausgefunden, dass mit a = 4 Probleme auftreten. Solche die sich nicht beheben lassen und somit kann mit a = 4 kein r und s gefunden werden -> a und b können nicht in Linearkombination treten um x darzustellen.

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Ah klingt logisch :-D

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Nur aus irgendwelchen Gründen komme ich bei der b) nicht weiter, könntest du mir bitte noch die b) vorrechnen, das wäre toll. Und die a) war ja in dem Fall sozusagen eine Ausnahme oder?

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Könnte man die Aufgaben auch mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren berechnen?

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Inwiefern eine Ausnahme?

1 = 0r + as

3 = ar + (a+1)s

Aus der ersten Gleichung folgt s = 1/a

Aus der zweiten folgt dann

3 = ar + 1 + 1/a

2 = ar + 1/a

Man sieht wieder, dass ein Wert für r gefunden werden kann, egal was a ist....außer a = 0 ist keine Option.

(Wenn Du es nicht gleich siehst, forme noch nach r um.)

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Stimmt jetzt habe ich es wirklich danke für deine Mühe :-)

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Es ist noch eine kleine Frage aufgetreten :D also dh. nun muss man wie z.B. bei der a) das was man für a also 4 rausbekommen hat in die ausgangsgleichung einsetzen? Und dann gucken, ob für r & s die gleichen Werte rauskommen, und wenn nicht lassen sich diese nicht als Linearkombination darstellen?

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Wenn Du das Ergebnis 4 schon hast, bist Du oft fertig. Eine Probe ist natürlich sehr gut!

Dann Vorgehen wie Du sagst. Ersetze a durch 4 und schaue ob Du ein gemeinsames r und s findest :).

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Perfekt :) wäre das so richtig? Also wenn da für s & r (anhand der Aufgabenstellung ja a & b oder? ) 0 raus kommt ist keine Linearkombination möglich? 

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Ich schau es mir nachm Abendessen an, ja :). Bis später

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Ok Danke guten Appetit & bis später :-)

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Genau, so passt das :).

Und danke^^

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Super !!! :D heißt also auch wenn ich für s und r eine Zahl raus bekommen würde, sie aber nicht gleich wären, wäre auch keine Linearkombination möglich & wenn 2 gleiche rauskommen würden, wäre diese möglich gell? & ich habe gerade gemerkt, dass in der Aufgabenstellung steht, dass man sozusagen nur die Werte für a raus bekommt, die eine Linearkombination nicht ermöglichen ich Dummerchen, und dann prüfe ich das noch haha ;D sorry für so viel Text & meine Fragen :-/

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Nein, das passt diesmal leider nicht.

Es ist wichtig, dass für s und r eine Zahl bestimmt werden kann. Welche das sind (ob gleich oder unterschiedlich) ist egal. Und die Werte für s und r kannst Du gar nicht bestimmen. Gibt unendlich viele. Aber manchmal (bspw bei der a) für a = 4) gibt es Probleme :P. Das sollten und haben wir ja gefunden ;).

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Achso ok :"D dh. Wir kriegen einfach ein a raus & dieses ermöglicht keine Linearkombination & wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt und das reicht schon ne? Ich mache mir einfach viel zu viele Gedanken :D

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Also kurzgefasst: kommen bei der Überprüfung 0er raus, so ist keine Linearkombi möglich & wenn eine Zahl raus kommt, dann ja aber es sind unendlich viele möglich

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Wie meinst Du das?

Wenn Du eine wahre Aussage erhältst (0 = 0, r = 3, r = 0) etc dann ist eine Linearkombination möglich. Wenn Du aber sowas wie r = 1/a hast, dann darf a = 0 nicht sein. Für diesen Fall würdest Du also keine Linearkombi finden, da r = nicht definiert.

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Genau also wenn nur 0er rauskommen ist das mit der Linearkombi nicht möglich & wenn da irgendeine Ziffer raus kommt wie z.B. wie r=3 und r=0 oder r=3 und r=4  (z.B.) , dann ist sie möglich habe ich es richtig verstanden?

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0 = 0 ist ebenfalls in Ordnung.

Nur 0 = 8 bspw geht nicht ;).

Answer 2

Zu a)                           (1) 0=ra+2s

          9=6r+3s I·2/3    (2) 6=4r+2s

(2) - (1) 6 = 4r - ra oder 6 = r·(4-a). Dies ist für a=4 unmöglich.

Comments

Warum ist es unmöglich?

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Weil 0·r = 0 für jede Zahl r. Also 0·r ≠6 für alle Zahlen r.