Gib die Definitionsmenge der Funktion f an und entscheide, ob die Funktion f ganz rational ist.

Question

(Siehe Aufgabenstellung und Aufgaben im Anhang )
Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht deshalb bitte ich sie, mir diese Aufgaben präzise zu erklären.

Answer 1

a) D = R, ganzrational mit Grad 1.

b) D = { x∈R | x≥ 0}, nicht rational.

c) D = R, ganzrational mit Grad 2.

d) D = R \ { 0 }, rational, aber nicht ganzrational.

e) D = R, ganzrational mit Grad 2

f)  D = { x∈R | x≥ 0 }, ganzrational mit Grad 1.

g) D = R \ { 0 }, ganzrational mit Grad 2.

h) D = R, ganzrational mit Grad 3.

g) D = R \ { -3 }, ganzrational mit Grad 2.

Bei b) und f) ist x Teil des Terms unter der Wurzel, dieser darf nicht negativ werden. Bei d), g) und i) ist x Teil des Terms unter dem Bruchstrich, dieser darf nicht null werden.

Eine Funktion ist ganzrational, wenn sich ihre Funktionsvorschrift durch einen Polynomterm darstellen lässt. Bei a) und e) sind die Funktionen bereits so dargestellt. Endliche Summen, Differenzen, Produkte und natürliche Potenzen ganzrationaler Funktionen sind wieder ganzrational, dies trifft etwa auf c) und h) zu. Die Funktionsterme der rationalen Funktionen in g) und i) können durch Kürzen in Polynomform verwandelt werden, der Term der rationalen Funktion in d) aber nicht. Der Funktionsterm in f) verliert nach Ausmultiplizieren seine Wurzeln und wird linear.

Answer 2

Die maximale Definitionsmenge besteht aus allen Werten x, für die es ein y gibt.  Z. B. ist bei f(x) = Wurzel(x) die Definitionsmenge R im Bereich von 0 bis unendlich.
Eine ganzrationale Funktion hat die Form a * x^n + b * x^{n-1} + c * x^{n-2} + …  Zum Beispiel:  a * x^2 + b * x + c.
Teilaufgabe a:  Definitionsbereich = R.  Die Funktion ist ganzrational, weil man sie in der Form a * x + b schreiben kann.

Comments

Danke dir und wie mache ich das bei Aufgabe d und e??

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Teilaufgabe d:  3/x = 3 * x^{-1}   ->   Nicht ganzrational, Exponent negativ.
Teilaufgabe e:  x/3 = 1/3 * x   ->   ganzrational.