Wie lautet der Grenzwert der Funktion fr(x)=e^-(x)+6+rx

Question

Funktion:f_r(x)=e^-x+6+rx

Grenzwert von x gegen unendlich

Meine Lösung wäre r   ,da e^-x sehr klein wird und nach dem ausklammern von x auch der Wert 6 gegen Null strebt.

Problem ist, wenn ich dies mal in den Taschenrechner eingebe wird die 6 immer zu dem Wert von r addiert.

Die Asymptote lautet ja rx+6, ist der Grenzwert dann vlt. rx+6?

Answer 1

fr(x) = e^{-x} + 6 + r·x

Grenzwerte

lim (x → ∞) fr(x) = 6 für r = 0

lim (x → ∞) fr(x) = -∞ für r < 0

lim (x → ∞) fr(x) = ∞ für r > 0

Comments

Her der TE, war nicht eingeloggt.

warum für 3>0  = ∞ ? Wie kann man das rechnerisch begründen? Wenn ich zb für r= 10 eintippe kommt 16 raus. Ist der Grenzwert dann nicht abhängig von t ?

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Du musst für x auch etwas unendliches einsetzen. Also wenn du mit dem TR probierst nimm für x einfach mal 99999999.

lim (x --> ∞) (e^{-x}   + 6 + r·x)

= lim (x --> ∞) (e^{-x}) + lim (x --> ∞) (6) + lim (x --> ∞) (r·x)

= 0 + 6 + lim (x --> ∞) (r·x)

für r > 0 ist y = r·x eine steigende Gerade mit Grenzwert ∞.

für r < 0 ist y = r·x eine fallende Gerade mit Grenzwert -∞.

für r = 0 ist der Term Null und hat damit auch den Grenzwert 0.

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Du musst für x auch etwas unendliches einsetzen.
Das sollte man besser nicht machen.

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Unendlich kann man ja auch eigentlich nicht einsetzen, weil unendlich kein Wert ist. Daher nennt man das ja auch Grenzwert.

Aber beim TR muss man ja erstmal was einsetzen. Und dann geht zur Kontrolle eine sehr große Zahl. So kann der Fragesteller wenigstens ausschließen, dass 16 ein Grenzwert ist.

Answer 2

> Grenzwert von x gegen unendlich

Das heißt Grenzwert für x gegen unendlich von e^-x+6+rx.

Und der ist

• -∞ falls r < 0 ist,
• ∞ falls r > 0 ist,
• 6 falls r = 0 ist.

Das ergibt sich aus den Grenzwerten der einzelnen Summanden:

• e^-x → 0 für x → ∞,
• 6 → 6 für x → ∞,
• rx → ±∞ für r≠0 und x → ∞ abhängig vom Vorzeichen von r,
• rx → 0 für r=0 und x → ∞.

Grenzwert der Summe ist die Summe der Grenzwerte.