Hessesche Normalform und parameterfreie Darstellung gesucht.

Question

ich verstehe leider trotz vielen Erklärungen nicht wie ich von dieser Parameterdarstellung einer Ebene:

R= [12;-8;9] + u × [50;260;-124] + v × [-3;-13;6]

Zu einer Hesseschen Normalform oder/und zu der parameterfreien darstellung komme.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Du hast ein GLS

\( \mathbf{\left( \begin{array}{r}x\\y\\ z\\ \end{array} \right)    } = \mathbf{\left( \begin{array}{r}50 \; r - 3 \; s + 12\\260 \; r - 13 \; s - 8\\ -124 \; r + 6 \; s + 9\\ \end{array} \right)    } \)

wo Du aus zwei Gleichungen r und s bestimmst und in die dritte einsetzt um eine Gleichung für die Koordinaten f(x,y,z)= 0 zu bekommen.

z.B. mit x , y

\( \mathbf{ \left\{  \left\{ r = -\frac{1}{10} \; x + \frac{3}{130} \; y + \frac{18}{13}, s = -2 \; x + \frac{5}{13} \; y + \frac{352}{13} \right\}  \right\} }\)

in z

\( \mathbf{z + 124 \;  \left(-\frac{1}{10} \; x + \frac{3}{130} \; y + \frac{18}{13} \right) - 6 \;  \left(-2 \; x + \frac{5}{13} \; y + \frac{352}{13} \right) - 9} \)

gibt

\(\mathbf{-\frac{2}{5} \; x + \frac{36}{65} \; y + z + \frac{3}{13} = 0}\)

Hesse Form ist dann klar?

Answer 2

mit dem Normalenvektor \(\vec{n}\), der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht, und dem Stützvektor \(\vec{a}\) =  [12, -8, 9] der Ebene erhält man eine Normalenform aus:

 \(\vec{n}\) * [x, y, z]  -  \(\vec{n}\) * \(\vec{a}\) = 0

Für \(\vec{n}\) kann man jedes Vielfache des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren nehmen:

[50, 260, -124] ⨯ [-3, -13, 6]  =  [-52, 72, 130]  = 2 * [-26, 36, 65]

[-26, 36, 65] * [x, y, z]  - [-26, 36, 65] * [12, -8, 9] = 0

 [-26, 36, 65] * [x, y, z]   + 15 = 0    (allgemeine Normalenform)

(  ⇔ - 26·x + 36·y + 65·z  + 15 = 0  (Koordinatenform) )

HNF: \(\vec{n_0}\) * \(\vec{x}\) -  \(\vec{n_0}\) * \(\vec{a}\) = 0

Die Hesse-Normalform schreibt man hinten mit  einer negativen Konstanten:

  [26, -36, -65] * [x, y, z]  - 15 = 0 

und die Gleichung muss durch | \(\vec{n}\)| = √( 26² + (-36)² + (-65²) ) =  √6197 dividiert werden:

HNF:   1/√6197 * [26, -36, -65] * [x, y, z]  - 15/√6197 = 0 

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Die HNF bietet viele Anwendungsmöglichkeiten, z.B.

Der Normaleneinheitsvektor  \(\vec{n_0}\) = 1/√6197 * [26, -36, -65]  zeigt dann vom Ursprung in Richtung der Ebene.

15/√6197 ist der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Setzt man in  |  1/√6197 * [26, -36, -65] * [x, y, z]  - 15/√6197 |   einen beliebigen Punkt ein, so erhält man den Abstand des Punktes von der Ebene.

weitere Info:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform

Gruß Wolfgang