Bestimme globale Maxima / Minima bei f (x,y) mit Nebenbedingung

Question

f(x,y)=4x−3y+15

NB: O=x²+y²−25

a)Gestalt der Lösungsmenge der Nebenbedingung: x,y ≥ 0 ???

b) Berechne Stationäre Punkte:

L=4x−3y+15−λ⋅(x²+y²−25)=0
L′x=4−2⋅λ⋅x=0
L′y=−3−2⋅λ⋅y=0
L′λ=−x²−y²+25=0

nach λ auflösen:

λ=2x=−3/2y

y=−3x/4

y in die NB-Gleichung setzen:

x=4
y=−3
λ=12


c)Berechne Globale Minima / Maxima:

wie bekomme ich heraus, ob die Kandidaten globale Maxima/ Minima sind?

Hesse-Matrix: H(x,y) oder H(x,y,λ)?? (ich habe das noch nie gemacht, trotz videos verstehe ich nicht, ob ich eine 2fache oder 3 fache Hesse-Matrix nehmen muss, könntet ihr mir eine Hilfe geben?)

Answer 1

Hi,

bei \( L_\lambda \) ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Die Lösungen lauten \( x = -4 \), \( y = 3 \) und \( \lambda = 0.5 \)

Jetzt musst Du die Hessematrix mit den zweiten Ableitungen bilden. Es gilt \( L_{xx} = L_{yy} = 2 \lambda \) und \( L_{xy} = 0 \)

Damit liegt ein Minimum an der kritischen Stelle vor.

Comments

HI Ullim,

vielen Dank für die Antwort.

Ich weiss leider nicht genau, wo der Vorzeichen Fehler sein soll.

Ist es denn nicht so bei der quadratischen Funktion, dass für x=4 und x=-4 eigentlich raus kommen muss.

Und wieso kommst du auf ein Minimum, woran liest du das ab?

sry bin kein mathe crack:)

LG

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Hallo Ullim,

du schriebst:

"Jetzt musst Du die Hessematrix mit den zweiten Ableitungen bilden. Es gilt L_xx=L_yy=2λ und L_xy=0"

Das heisst, ich setze in L_xx=L_yy=2λ        (λ=0.5) ein, oder?

und dann bestimme ich mit der Hessedeterminante

D=f''_xx*f''_yy-(f''_xy)²

ob MIN oder MAX^.

D=1*1-0
D=1 > 0 , also MIN

??

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Hi,

ja genaus so ist es richtig.