Verwandte pythagoreischer Tripel

Question

Welche Formeln generieren ganzahlige Seitenlängen von Dreiecken mit genau einem 60°-Winkel?

Comments

Ich weiß nicht ob das ein Ansatz ist, aber es sollte der Cosinussatz gelten:

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·COS(60°)

c^2 = a^2 + b^2 - a·b

Nun muss einem nur eine geschickte Substitution wie bei den pythagoräischen Tripeln einfallen. Aber kann auch sein das das ein Holzweg ist.

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Vorschlag: Substituiere

$$a=\frac{1}{2}(u-v)$$

$$b=\frac{1}{2}(u+v)$$

man erhält: \(4c^2=u^2+3v^2\) mit \(u,v \in \mathbb{N}\), wenn man mal ohne Einschränkung der Allgemeinheit annimmt, dass \(a \lt b\) .. vielleicht hilft das weiter

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Herzlichen Dank an Werner-Salomon.

c^2 = a^2 + b^2 - a·b

c^2 = (0.5·(u - v))^2 + (0.5·(u + v))^2 - (0.5·(u - v))·(0.5·(u + v))

c^2 = (u^2 + 3·v^2)/4

Ich denke damit lässt sich schon etwas anfangen.

Zumindest sieht man ja schon, dass es für gerade u und v klappen sollte.

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Nö - \(u\) und \(v\) müssen nicht immer gerade sein. Sie müssen nur entweder beide gerade oder beide ungerade sein.

Man könnte weiter machen wie hier .. i.A. bin ich aber busy ;-)

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@Mathecoach Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du eins der gemeinten Tripel generierst und die Konstruktion vorführst.

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Du missverstehst das Roland. Das ist noch keine Fix und fertige Formel. Das ist erstmal nur der Ansatz. Da gehört noch etwas Gehirnschmalz dazu. Aber beschäftige dich ruhig mal mit den Pythagoräischen Tripeln und deren Herleitung.

Ich habe zwar schon im Kopf wie es gehen könnte habe es aber selber noch nicht versucht. Sonst hätte ich auch schon eine Antwort geschrieben. Und ich komme jetzt auch erst nach Hause und gehe auch gleich schlafen. Vielleicht schau ich es mir morgen mal an, wenn ich etwas Zeit dafür habe.

Answer 1

Mit der Substitution

a = u² - v²
b = 2uv - v²
c = u² - uv + v²  , u>v
funktioniert es; es gilt dann a² + b² -ab = c² 
EDIT: Kommentar in Antwort umgewandelt. 

Comments

Vielen Dank Ulla.

Ja, dass ist die perfekte Substitution.

Schreib das doch bitte noch als Antwort. Damit ist diese Frage von Roland ja beantwortet.

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@Ulla Ich kann nur wiederholen, was Der_Mathecoach schreibt: Das ist die Antwort und nicht irgendein Kommentar.