Umkehrfunktion berechen: Wie kommt diese Umformung zustande? x²(1+y²)-2yx=0

Question

ich muss gerade die Umkehrfunktion bestimmen von

$$y=$$ 

Jedoch hänge ich an einer Stelle fest... (habe die Lösungen aber verstehe eine stelle nicht)

x²(1+y²)-2·y·x = 0 soll das hier sein:

$$x²(\frac { 2y }{ 1+y² } )\cdot x=0$$

Also wie kommt das?

mfg

hier die gesamte Rechnung bis zu der Problemstelle:

Answer 1

 Deine Rechnung ist richtig. Dann wir x ausgeklammert und dann ist x=0 oder  x-2y/(1+y²)=0. die zweite Gleichung wird zu x=2y/(1+y²) umgeformt. Im Falle x≠0 ist f^-1(x)=2x/(1+x²)die Umkehrfunktion.

Comments

nochmal ganz kurz, ich verstehe immer noch nicht ganz wie

$$x²(\frac { 2y }{ 1+y² } )\cdot x=0$$

zustande kommt.

wie kommt ich von x²(1+y²) zu

x²-2/(1+x²)... das ist gegen alle mathematischen Regeln die mir grad einfallen... was entgeht mir?

mfg

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Mehr, als ich geschrieben habe, fällt mir dazu auch nicht ein.

Answer 2

y = (1 - √(1 – x ^ 2)) / x

x * y = 1 - √(1 – x ^ 2)

x * y – 1 = - √(1 – x ^ 2)

1 – x * y = √(1 – x ^ 2)

(1 – x * y) ^ 2 = 1 – x ^ 2

1 – 2 * x * y + x ^ 2 * y ^ 2 = 1 – x ^ 2

- 2 * x * y + x ^ 2 * y ^ 2 = - x ^ 2

- 2 * y + x * y ^ 2 = - x

x * y ^ 2 + x = 2 * y

x * (y ^ 2 + 1) = 2 * y

x = 2 * y / (y ^ 2 + 1)

Das ist deine Umkehrfunktion, genauer kannst du jetzt schreiben →

x(y) = 2 * y / (y ^ 2 + 1)

x ist also eine Funktion von y

Willst du das jetzt als neue Funktion y(x) statt x(y) etablieren, also die Koordinatenachsen vertauschen, dann musst du einfach x und y miteinander vertauschen.

y(x) = 2 * x / (x ^ 2 + 1)

oder in der Kurzschreibweise

y = 2 * x / (x ^ 2 + 1)

Vielleicht kommst du mit meinem Rechenweg besser zurecht.

Answer 3

x^2y^2 + x^2 - 2xy  = 0

bei deinen Berechnungen  :
x ausklammern und
den Satz vom Nullprodukt anwenden

x * ( xy^2 + x - 2y ) = 0
x = 0

xy^2 + x - 2y  = 0
x * ( y^2 + 1 ) = 2y
x = 2y / ( y^2 + 1 )
oder
y = 2x / ( x^2 + 1 )

Comments

Deine handschriftlichen Umformungen sind
in Ordnung :
nach der letzten Zeile : x ausklammern