Berechnung des verfügbaren Deponieraums.

Question

Die Mülldeponie einer Gemeinde hat ein Fassungsvermögen von 462000 m3 . Zum gegenwärtigen Zeitpunkt hat die Gemeinde 2800 Einwohner, von denen jeder 4 m3 Müll pro Jahr deponiert. Die Einwohnerzahl steigt um 6 Prozent pro Jahr. Die Berechnungen des Umweltgemeinderates ergeben, dass unter diesen Voraussetzungen die Deponie nach etwa 21 Jahren geschlossen werden müsste. Wenn es allerdings gelänge, die Müllproduktion pro Einwohner um 13 Prozent zu drosseln, wie hoch wäre dann der nach 21 Jahren noch verfügbare Deponieraum?

Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter, über Hilfe wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

x in Jahren
x = 0 : 2800
nach einem Jahr auf
x = 1 : 2800 * 1.06 = 2968

Ich gehe davon aus das die Steigerung nicht
sprunghaft erfolgt sondern kontinuierlich.

Entwicklung Einwohnerzahl
2800 * 1.06^x

Müll
4 *  2800 * 1.06 ^x

Stammfunktion
∫ 4 *  2800 * 1.06 ^x dx
11200 * 1.06 ^x / ln ( 1.06 )
11200 / ln ( 1.06 ) * 1.06 ^x

Summe
[ 11200 / ln ( 1.06 ) * 1.06 ^x ] zwischen 0 und z = 462000
11200 / ln ( 1.06 ) * [ 1.06 ^z - 1.06 ^0 ] = 462000
1.06 ^z - 1 = 2.404

z = 21.02 jahre

Drosselung
Müll
4 *  2800 * 1.06 ^x * 0.87 ^x
4 *  2800 * 0.9222 ^x

Stammfunktion
11200  / ln ( 0.9222 ) * 0.9222 ^x

[ S ( x ) ] zwischen 0 und 21.02 wäre die
bereits abgelagerte Menge Müll.
Dann noch die Differenz zu 462000 bilden.

Comments

Vielen Dank :)
Ich hätte nur noch kurz eine Frage also von welche Summe muss ich die Differenz bilden?

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[ 11200  / ln ( 0.9222 ) * 0.9222 ^x ] zwischen 0 und 21.02
11200  / ln ( 0.9222 ) * [ 0.9222 ^x ] zwischen 0 und 21.02
- 138283.28 * ( 0.9222 ^21.02 - 0.9222^0 )
- 138283.28 * ( 0.18223 - 1 )
113083

Noch verfügbarer Deponieraum
462000 - 113083 =348916 m^3

Kommt mir recht groß vor die Reduzierung.
Scheint aber zu stimmen.

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Leider ist da Ergebnis nicht richtig :/ hätten Sie eventuell noch eine andere Idee?

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Ich denke ich habs.
13 % ist nicht die Drosselung pro Jahr
0.87 ^x

sondern 13 % konst

Drosselung
Müll
( 4 * 0.87 ) * 2800 * 1.060 ^x 
Stammfunktion
( 4 * 0.87 ) * 2800 / ln( 1.06 ) * 1.06 ^x 

Alles wie oben berechnen

[ ( 4 * 0.87 ) * 2800 / ln( 1.06 ) * 1.06 ^x ]
zwischen 0 und 21.02

401929 m^3 ?

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Warum berechnest du nicht einfach 87% von 462000 m^3 ?

Answer 2

Es handelt sich um eine diskrete Funktion.

\(f(k)=a_o*q^k  ,\ k=0..n\)

\({\sum_{k=0}^{n}a_o*q^k}  = \mathbf{\frac{a_o \; q^{n + 1} - a_o}{q - 1}}\)

a_0 = 2800*4*87/100, q= (106/100)

\( \sum_{k=0}^{20} 2800*4*87/100 \frac{{53}^{t}}{{50}^{t}}  = 389689.1287286 \)

wäre dann der verbrauchte Deponieraum nach 21 Jahren