Mit welcher mittleren Lebenserwartung hat die Versicherungsgesellschaft kalkuliert?

Question

Ein Angestellter schließt mit 43 Jahren eine Lebensversicherung über 25000 €  ab, die im Todesfall ohne Gewinnanteile ausgezahlt wird. Die jährlich nachschüssige Prämie beträgt 700 €, der Zinssatz 5.7%.

Mit welcher mittleren Lebenserwartung hat die Versicherungsgesellschaft kalkuliert?

Es wurde ein mittleres Sterbealter von Jahren zugrunde gelegt.

Answer 1

Die Formel für das Kapital \(K\) bei nachschüssiger Rate, Verzinsungsfaktor von \(z=1,057\) und einer jährlichen Rate von \(R=700€\) nach \(n\) Jahren lautet:

$$K_n= R \cdot \frac{z^n-1}{z-1}$$

Die Versicherung muss so kalkulieren, dass zum Zeitpunkt der mittleren Lebenserwartung das angesparte Kapital \(K_n\) inklusive der Zinsen gleich oder größer ist als die Versicherungssumme. Hier ist

$$K_n = 700€ \cdot \frac{1,057^n-1}{1,057-1} \ge 25000€ \quad \Rightarrow 1,057^n \ge \frac{25000€}{700€} \cdot 0,057 + 1 $$

Das ganze logarithmieren

$$n \ln{1,057} \ge \ln {3,0357} \quad \Rightarrow n \ge \frac{ \ln {3,0357}}{ \ln{1,057}} \approx 21,03$$

Das Kapital würde also im 22.Jahr die Versicherungssumme übersteigen. Folglich rechnet die Versicherung mit einer mittleren Lebenserwartung von 43+22=65 Jahren. Ein kalkulierter Gewinn der Gesellschaft ist dabei noch nicht mit eingerechnet.

Gruß Werner

Comments

Du schriebst: "Wohin geht das -1 bei 1,057ⁿ?" .. auf die rechte Seite der Ungleichung und wurde dort zu +1.

und fragtest noch: "Und woher hast du die Formel?"

Durch Nachdenken entdeckt! Ich kann mir das nie merken, wann man welche Formel für nachschüssig und vorschüssig hernimmt.

Nach einem Jahr steht das Kapital bei \(K_1=R\), Zinsen gibt es keine, da am Ende des Jahres (nachschüssig) eingezahlt wird. Ende des zweiten Jahres hat sich das Kapital verzinst und es gibt eine weitere Prämie \(K_2=R\cdot z + R\). Ende des dritten Jahres ist \(K_3=R\cdot z^2 + R\cdot z + R\) usw. und im \(n\)'ten Jahr ist

$$K_n= R\cdot z^{n-1} + ... +  R\cdot z^2 + R\cdot z + R=R \cdot \sum_{i=0}^{n-1}z^i$$und wenn man jetzt die Summenformel für die geometrische Reihe nicht kennt, macht das auch nichts, dann nehme ich den Ausdruck mit \(z\) mal

$$K_n \cdot z=R \cdot \sum_{i=1}^{n}z^i$$

und ziehe von dieser Gleichung die erste  ab und erhalte

$$K_n \cdot (z-1)=R\cdot (z^n-1) \quad \Rightarrow K_n=R\frac{z^n-1}{z-1}$$