1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch, wenn x, y und z ganze Zahlen sind?
Begründen Sie!
(a) ∀x∃y(2x = y)
Zu jedem x gibt es ein y = 2x mit (....) . Kein Problem, wenn die ganze Zahl x verdoppelt wird, kommt eine ganze Zahl raus.
(b) ∃x∀y(2x = y)
Es gibt ein x , für alle y mit (x=2y) ist zumindest ungewöhnlich notiert.
Es müsste wohl gelesen werden:
Es gibt ein x so dass, für alle y gilt (x=2y). Und das kann nicht sein. Es gibt gar keine ganze Zahl, die gleichzeitig das Doppelte von allen ganzen Zahlen ist.
Lese ich b) richtig?
(c) ∀x∃y(x = 2y)
Für alle x gibt es ein y mit (x = 2y). Stimmt nicht. Bsp. Für x=3, gibt eis keine ganze Zahl y, so dass 2y = x.
(d) ∀x (x < 10 → ∀y(y < x → y < 9))
Für alle x gilt ( wenn x kleiner als 10 ist, so ist jedes y kleiner als x automatisch kleiner als 9 )
Das stimmt. Der unmittelbare Vorgänger von 10 ist 9 und der unmittelbare Vorgänger von 9 ist 8. y <x ist automatisch kleiner oder gleich 8.
(e) ∃y∃z(y + z = 100)
Es gibt ein y und es gibt ein z, so dass (y+z = 100).
Ja. Das geht. 55 + 45 = 100
2. Was ändert sich in 1), wenn x, y und z rationale Zahlen sind? Begründen Sie!
c) stimmt. Man kann jeder rationale Zahl halbieren und es gibt wieder eine rationale Zahl.
d) Stimmt nicht. Auch 9.9 < 10.
Sonst mE keine Änderung.
Beachte auch die "ähnlichen Aufgaben".
Speziell zum Negieren von Quantoren z.B. https://www.mathelounge.de/220410/negation-von-aussagen-mit-quantoren
