Infimum mit der Epsilon-Definition beweisen: 1/(1+x^2)

Question

Beh.: i=o ist Infimum von M:={1/(1+x^2)|x∈ℝ}:

Beweis:

\( (i)~0\leq \frac { 1 }{ 1+x^2 }~~ist~~klar \\ (ii)Z.z:(i=Infimum=0 ~~ ist  ~~kleinste ~~untere ~~Schranke)\leftrightarrow\forall\epsilon>0\exists y\in M:y< i + \epsilon =0+\epsilon=\epsilon  \\ Bew.: ~Sei~~\epsilon >0 ~ bel.,wähle~y=\frac { 1 }{ N }, wobei~~n\in \mathbb{N}.\\ Dann~~gilt,~~wegen~~des~~Arch.~~Axioms:y=\frac { 1 }{ N} < \epsilon  ~~\\Wie  ~~zeige  ~~ich ~~jetzt ~~noch ~~y \in M ?  \)

Man müsste y=1/N doch durch 1/(1+x^2) darstellen können, aber wie zeige ich das formal? Oder muss ich den Beweis wie hier führen: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum_bestimmen_und_beweisen#Menge_von_Funktionswerten

und y=1/(1+x^2)<0+ε=ε nach x umstellen? Dann wäre der Beweis mit dem Epsilon-Kriterium ja nahezu äquivalent zu dem im Link angegebenen Beweis...

Anmerkung: Im angegeben Link wird nicht die Epsilon-Definiton verwendet, ich probiere die Aufgabe mit dem Epsilon-Kriterium zu lösen.

Answer 1

Hallo ie,

> 1/(1+x^2)<0+ε=ε nach x umstellen?

Ja,

du willst noch zeigen, dass es keine kleinere untere Schranke als 0 gibt.

Für jedes ε ∈ ℝ⁺ muss es also ein x ∈ ℝ  mit  1 / (1 + x²) < ε geben:

1 / (1 + x²) < ε  ⇔  1/ε < 1 + x²  ⇔  1/ε - 1 < x²

Letzteres gilt 

-  für alle xεℝ             , wenn 1/ε < 1  ist 

- für  |x| ≥  √(1/ε -1)    , wenn 1/ε ≥ 1  ist.

Gruß Wolfgang