exponentielles Wachstum modellieren

Question

Ein Land hat 15 Mio Einwohner und die Einwohnerzahl wächst jährlich um 2 %. Die Nahrungsmittelversorgung reicht für 20 Mio Menschen. Durch weiteren Ausbau der Landwirtschaft können jährlich 200 000 Menschen mehr versorgt werden.

a) Modellieren sie diese Situation mathematisch (gerne mit Erklärung)

b) Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Modellierung?

Mein erster Ansatz war: 15 000 000 * 1,02 ^ x = 20 000 000         

ohne Einbezug der 200 000 Menschen die zusätzlich versorgt werden können - weiß nicht wie ich den Sachverhalt mit einfließen lassen kann.

Answer 1

Ein Land hat 15 Mio Einwohner und die Einwohnerzahl wächst jährlich um 2 %. Die Nahrungsmittelversorgung reicht für 20 Mio Menschen. Durch weiteren Ausbau der Landwirtschaft können jährlich 200 000 Menschen mehr versorgt werden.

a) Modellieren sie diese Situation mathematisch (gerne mit Erklärung)

Bevölkerungsentwicklung
B ( t ) = 15 * 10^6 * 1.02 ^t

Nahrung für Menschen
N  ( t ) = 20 * 10^6 + 200000 * t

b) Welche Konsequenzen ergeben sich aus der
Modellierung?

Hier die Skizze

Aus der Skizze ergibt sich das das Nahrungsmittelangebot
etwa in 26 Jahren nicht mehr ausreicht.

Ich weiß nur nicht wie man ohne Skizze zu dieser
Erkenntnis kommen soll.

mfg Georg

Answer 2

15 000 000 * 1,02 ^ x = 20 000 000+200 000*x

Die Gleichung ist nur numerisch lösbar. Verwende ein Näherungsverfahren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=15000000+*+1.02+%5E+x+%3D+20000000%2B200000*x

Answer 3

Die Einwohnerzahl nach t Jahren wird modelliert als E(t)= [15·1,02^t] Mio. Die Anzahl Einwohner, die von den Erzeugnissen des Landes ernährt ernährt werden können modelliert sich als N(t)= [0,2t+2] Mio. Die zugehörigen Graphen schneiden sich für t≈25,26. Also nach 25 Jahren und 3 Monaten können nicht mehr alle Menschen ernährt werden.