ist (X, ||*||) mit ||a||=d(a,0) ein normierter Raum?

Question

ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

Sei n∈ℕ und X={0,1}ⁿ. Man zeige dass d(a,b)= ∑ⁿ_i=1 |a_i-b_i| eine MAtrix auf X ist.

Ist x vollständig?

ist (X, ||*||) mit ||a||=d(a,0) ein normierter Raum?

ich bitte um hilfe

Comments

Die Matrix soll wohl eine Metrik sein??

Answer 1

X={0,1}ⁿ   Es geht also um n-Tupel, deren Komponenten nur 0en und 1en sind.

Zum Nachweis einer Metrik musst du die 3 Metrik-Axiome überprüfen:

1.    d(x,y)= 0 <==>    x=y    

Seien also  x, y aus X mit d(x,y) = 0

                           < = >   ∑ⁿ_i=1 |a_i-b_i|

Da alle Summanden nicht negativ sind, gilt Summe = 0 genau dann, wenn

alle Summanden = 0 sind, also    |a_i-b_i|  = 0   für alle i ∈ { 1 ; ... ; n } .

Also   für alle i ∈ { 1 ; ... ; n }    a_i-b_i = 0  also    a_{i  =} b_i  und das heißt ja


gerade  a = b.



2.  Symmetrie :  offenbar ist für alle i      |a_i-b_i|  =  |b_i-a_i| 

und damit sind  auch die Summen gleich   also d(a,b) = d(b,a) .


3. Dreiecksungleichung:     Seien a,b,c aus X .  Dann gilt

für alle    i ∈ { 1 ; ... ; n }       |a_i-b_i|  ≤   |a_i-c_i| + |c_i-b_i|   wegen der 
 Dreiecksungleichung in IR.   Also   d(a,b) =

  ∑ⁿ_i=1 |a_i-b_i|  ≤   ∑ⁿ_i=1 ( |a_i-c_i| + |c_i-b_i|  ) 

=   ∑ⁿ_i=1  |a_i-c_i|  +     ∑ⁿ_i=1  |c_i-b_i|  = d(a,c) + d(c,b) .      q.e.d.

Comments

Deine Metrik-Axiome sind falsch.

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Kann keinen Fehler finden. Sag mal genauer.

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(1a) \( d(x,y) \geq 0 \) fehlt

(1b) \( d(x,y) = 0 \iff x = y \)

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1a folgt aus den anderen 3 Axiomen, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum#Formale_Definition