Überall Differenzierbarkeit und Monotonie

Question

Ich weiß wie man überall differnzierbarkeit zeigt, aber nicht an dieser funktion...und beim zeigen dass jede Umgebung von 0 intervalle enthält die monoton fallen habe ich leider überhaupt keine ahnung, es wäre wunderbar wenn mir jemand helfen könnte, danke schon mal :)

Answer 1

Für x≠0 ist die Differenzierbarkeit durch die

einschlägigen Sätze gesichert, für x=0 betrachte

(f(0+h) - f(o) ) / h

= ( h + 2h² * sin (1/h) ) / h

= 1 + 2h*sin(1/h)

Und für h gegen 0 geht   2h*sin(1/h)   auch gegen 0, denn


2h geht gegen 0 und sin(1/h) ist betragsmäßig beschränkt durch 1.


Also geht   1 + 2h*sin(1/h)  gegen 1 + 0 = 1, also f ' (0) = 1 .


Zum 2. Teil:   f ' (0) = 1 > 0 . ist klar.

sin ist streng monoton fallend über ] 2n*pi + pi/2 ; (2n+1)*pi [ für alle n aus IN.

also sin(1/x) über   ] 1 /  (( 2n+1)*pi  ) ;  1 / (2n*pi + pi/2 ) [ für alle n aus IN.


Und damit ist auch f über diesen Intervallen streng mon. fallend.

Und jede Umgebung von 0 enthält solch ein Intervall.       q.e.d.

Answer 2

Differenzierbarkeit bei x ≠ 0 ist trivial.

Differenzierbarkeit bei x = 0 folgt aus \(\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 1+2\lim_{h\to0}\left(h \sin\frac{1}{h}\right)\) wegen \(\lim_{h\to0}\left(h\sin\frac{1}{h}\right) = 0\)