Differentialrechnung - Polynomfunktion dritten Grades

Question

Ihr habe ich folgendes Beispiel:

 

Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W= ( 2/-2) den Wendepunkt W und besitzt den Extrempunkt ( 4/0). 

Zeigen Sie, dass die zugehörige Funktionsgleichung f(x)= -1/8x³ + 3/4 x² -4 lautet!

Wie komme ich vom Wendepunkt und den Extrempunkt auf die zugehörige Funktionsgleichung? Ich weiß, dass das x³ daher kommt, dass ich eine Polynomfunktion dritten Grades habe. Aber alles andere, auf das würde ich einfach nicht kommen. 

Die nächste Aufgabe wäre es Nullstellen etc. zu berechnen. Was wenn ich die Funktionsgleichung habe dann ja kein Problem ist. Meine Frage ist nur, ob f(x)= -1/8... meine Ausgangsfunktion darstellt oder eine Ableitung, wie erkenne ich das? 

Die letzte Aufgabe besagt dass ich den Inhalt der Fläche , die vom Funktionsgraphen f, der Wendetangente und der positiven x- Achse begrenzt wird. Ich denke, das wird kein Problem sein.

 

Bitte genau erklären wie ich auf  f(x)= -1/8x³ + 3/4 x² -4  komme. Ich habe das noch nie gemacht, deswegen werden mir " Gedankenanstöße", vermutlich nicht weiterhelfen..

Ganz liebe Grüße! 

Answer 1

In deiner anderen Aufgabe (https://www.mathelounge.de/43858/differentialrechnung-polynomfunktion-dritten-verwirrende ) habe ich es etwas ausführlicher gemacht hier, daher hier nur die Basics

Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades
hat in W= ( 2/-2) den Wendepunkt W
und besitzt den Extrempunkt ( 4/0).
Hier die Bedingungen aus dem Text

f(2) = -2
f''(2) = 0
f(4) = 0
f'(4) = 0

Daraus ergeben sich die Gleichungen

8a + 4b + 2c + d = -2
12a + 2b = 0
64a + 16b + 4c + d = 0
48a + 8b + c = 0

Durch Auflösen z.B. mit dem Additionsverfahren ergibt sich die Lösung der Funktion mit

f(x) = -0.125·x^3 + 0.75·x^2 - 4

Comments

Hallo :) Gehört bei

f(4) = 0
f'(4) = 0 

nicht

f(4) = 0
f'(0) = 4

? 

bei f`(0)= 4  ---> x Koordinate meines Extrempunktes, den ich in f(x) -> f(4)= 0 einsetze?

 

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Die Bedingung für die Koordinate ist

f(4) = 0 Weil der Extrempunkt ja (4 | 0) sein soll

f'(4) = 0 heißt die Ableitung an der Stelle 4 muss null sein, weil wir dort ein Extrema haben.

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Ich habe noch ein Problem mit dem Additionsverfahren:


für c erhalte ich 0, dann bleibt


8a + 4b + d= -2

12 a + 2b= 0

64a+ 16b+d=0

48a+ 8b= 0

Ich komme hier NIE auf ein Ergebnis.. Ich erhalte mittels Additionsverfahren immer nur 2 Variablen am Ende :((

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8a + 4b + 2c + d = -2
12a + 2b = 0
64a + 16b + 4c + d = 0
48a + 8b + c = 0

III - I, IV, II aus 4 mach 3

56a + 12b + 2c = 2 ---> 28a + 6b + c = 1
48a + 8b + c = 0
12a + 2b = 0

II - I, III aus 3 mach 2

20a + 2b = -1
12a + 2b = 0

II - I aus 2 mach 1

-8a = 1

Nun Rückwärts auflösen

a = -1/8

... usw.

Ist das jetzt klar wie es zu machen ist?

Answer 2

hallo tanji91,

 

ich weiß nicht so recht ob es dich weiter bringt, aber schau dich mal auf der seite hier. vielleicht ist es ja hilfreich!

 

lg

retane

Answer 3

Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in \(W(2|-2)\) den Wendepunkt W und besitzt den Extrempunkt \(E( 4|0)\).

Der Graph hat somit in \(P(0|-4)\) einen weiteren Extrempunkt.

\(f(x)=a(x-4)^2(x-N)\)

\(W(2|-2)\):

\(f(2)=a(2-4)^2(2-N)=4a(2-N)\)

\(4a(2-N)=-2\)→\(2a(N-2)=1\)  →\(a=\frac{1}{2N-4}\)

\(f(x)=\frac{1}{2N-4}(x-4)^2(x-N)\)

\(P(0|-4)\):

\(f(0)=\frac{1}{2N-4}(0-4)^2(0-N)\)

\(f(0)=\frac{16N}{4-2N}\)

\(\frac{16N}{4-2N}=-4\)→\(N=-2\)     \(a=-\frac{1}{8}\)

\(f(x)=-\frac{1}{8}(x-4)^2(x+2)\)

Comments

Hat sich RenateT87 schon bei dir bedankt?

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Hat sich RenateT87 schon bei dir bedankt?

Das würde ich nicht erwarten. Größere Hoffnungen kann man sich bei tanji91 machen! *Fingers crossed *