Verständnisfrage. Woran erkennt man, dass beim Alter der Buchen integriert werden muss? Nr. 3

Question

Woran erkennt man an dieser  Aufgabenstellung, dass das Integral eingesetzt werden muss? Nummer 3

Verständnisfrage. Woran erkennt man, dass beim Alter der Buchen integriert werden muss? Nr. 3 

Comments

Man wohl müsste wissen, was h ist. Die Höhe der Buche zur Zeit t? 

Alternativ müsstest du angeben, was g ist. 

Das steht vermutlich in dem Teil des Textes, den du weggelassen hast. 

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Das ist die  Aufgabe 

Answer 1

Angenommen eine Buche wächst konstant 3 Meter pro Jahr. Um wieviele Meter wächst sie in den ersten 5 Jahren?

Rechnung: 3 m/a · 5 a = 15 m.

Alternativ kann man eine Funktion für die Wachstumsgeschwindigkeit aufstellen: w(x) = 3. Auf die Höhe 3 · 5 = 15 kommt man dann auch, indem man die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse im Intervall von 0 bis 5 berechnet.

"Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse" ist Integral, zumindst wenn die Funktion nur oberhalb der x-Achse verläuft. 

Man könnte sich nun fragen, ob es nicht nur Zufall ist, dass das Integral gleich dem Höhenunterschied ist. Schließlich handet es sich um eine sehr spezielle Funktion (nämlich eine konstante Funktion).

Das es eben kein Zufall ist, sieht man, wenn man sich an den Anfang seiner Integralrechnungskarriere erinnert. Damals wurden Integrale mittels Ober- und Untersummen behandelt. Dabei wurde das Intervall, über dem integriert werden sollte, in Teile zerteilt und in jedem Teil wurde die Funktion als konstant angenommen. Die Summe der Flächeninhalte war dann eine Näherung des Integrals. Da nun mit abschnittsweisen konstanten Funktionen gearbietet wurde, war die Summe der Flächeninhalte ebenfalls eine Näherung des obigen Höhenunterschieds.

Zum Integral kam man, indem man die Unterteilung des Intervalls verfeinerte. Bei jeder Verfeinerung ist immer noch die Summe der Flächeninhalte eine Näherung des obigen Höhenunterschieds. Der Grenzwert (leienhaft ausgedrückt "unendlich kleine Teilintervalle") ist das Integral und gibt den genauen Flächeninhalt an. Es ist deshalb plausibel, dass dieser Grenzwert ebenfalls den genauen Höhenunterschied angibt.

Diese Überlegungen stellt man natürlich nicht während der Klausur an, sondern davor.

Während der Klausur überlegt man sich:

• Einheit der Ableitung ist Einheit der y-Achse geteilt durch Einheit der x-Achse.
  
• Einheit des Integrals ist Einheit der y-Achse mal Einheit der x-Achse.

Beispiel. Ein senkrecht nach oben geworfener Stein hat zum Zeitpunkt t [in Sekunden] die Geschwindigkeit v(t) = -10t + 20 [in Meter/Sekunde].

• Die Ableitung v'(t) = -10 hat dann die Einheit
           (Meter/Sekunde)/Sekunde = Meter/Sekunde²,
  gibt also die Beschleunigung an.
• Das Integral ∫_0..t v(x) dx = -5t² + 20t hat die Einheit
           (Meter/Sekunde) · Sekunde = Meter,
  gibt also die zurückgelegte Strecke an.

Answer 2

Du hast die Funktion f ( t ) zum Wachstum einer Buche.
Die Höhe als Funktion der Zeit. Abbildung 1 zeigt dies.

Die erste Ableitung ist Δ h zu Δ t . Die ist der
Höhenunterschied in einer bestimmten Zeit.
Einheit meter pro jahr.

Meter pro Jahr ist die  Wachstumsgeschwindigkeit.

[ f ( t ) ] ´ ist v ( t )

Nun ist dir eine zweite Funktion g ´ ( t ) der Wachstumsgeschwindigkeit einer weiteren
Buche gegeben.

Davon sollst du die Funktion des Wachstums h ( t )
bestimmen.
Die Stammfunktion  ist
∫ g ´( t ) dt = 27.5 * ( e^{-0.04*t} - 2 * e^{-0.02*t} ) = h ( t )

Das Wachstum ist
[ h ( t ) ] zwischen 0 und t
w ( t ) = h ( t ) - h ( 0 )

w ( t ) =  27.5 * ( e^{-0.04*t} - 2 * e^{-0.02*t} ) - 27.5

Jetzt mußt  t = 50 einsetzen.