Eulerische Zahl Grẹnzwert beweisen

Question

wir sind im Moment bei Folgen und Reihen. Ich will nun formal beweisen, dass:  $$\lim_{n\rightarrow\infty}{{\left(1+\frac{1}{n }\right)}^{n}}=e$$Wie beweist man sowas?

Comments

wie definierst du denn e ?

---

e ist definiert als Grẹnzwert einer Folge / Reihe. Also ich muss zuerst zeigen, dass der Ausdruck monoton steigend und beschränkt ist. Wie mache ich das?

Answer 1

http://www.mathepedia.de/Die_Zahl_e.aspx

Answer 2

Man betrachte die Funktionenschaar mit der Gleichung f_a(x)=a^x. Frage: Für welche Zahl a ist die Steigung im Punkt (0;1) ebens groß, wie der Funktionswert an der Stelle 0? Für die Tangente an den Graphen von f_a(x) heißt das a^x=x+1, wenn x gegen Null geht. Ersetzen wir x durch 1/n dann geht n gegen unendlich, wenn x gegen Null geht. Aus a^x=x+1 wird dann a^1/n=1/n+1 oder a=(1/n+1)ⁿ für n gegen unendlich. Dieser Grenzwert a ist die Zahl, die wir suchen. Wir können sie näherungsweise angeben. Die genaue Zahl ist irrational und trägt den Namen e.

Comments

a^1/n=1/n+1 oder a=(1/n+1)ⁿ für n gegen unendlich

Welche aussagenlogische Verknüpfung soll sich denn hinter deinem "oder" verbergen ?

---

Hallo gast hj2166. Ich nehme an, du hast mich ausgeguckt, um jemanden zu haben, den man leicht kritisieren kann. Lies mal mein Profil.

---

Ich kritisiere nicht dich sondern einige falsche Inhalte deiner Beiträge, genauso wie auch falsche Inhalte in den Beiträgen anderer Autoren.

Answer 3

Du willst also zeigen, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist.

Nenne die Folgenglieder a_n und dann genügt für die Monotonie zu zeigen 

     a_n+1 / a_n  > 1     für alle n aus IN.

Dazu forme um

( 1 + 1/(n+1) ) ⁿ⁺¹ /  ( 1 + 1/n ) ⁿ  > 1       | : ( 1 + 1/(n+1) )

<=>  ( ( 1 + 1/(n+1) )  /  ( 1 + 1/n )     ) ⁿ   >   1     /   ( 1 + 1/(n+1) )  

Die rechte Seite ist aber gleich  1 -  1 / (n+2)  .

Also ist die Monotonie gezeigt, wenn gezeigt wird 

( ( 1 + 1/(n+1) )  /  ( 1 + 1/n )     ) ⁿ   >   1 -  1/(n+2)

Die Basis der Potenz links lässt sich umformen zu


1 - 1 / (n+1)²


Also bleibt zu zeigen:


(  1 - 1 / (n+1)²  ) ⁿ    >  1 -  1/(n+2)     (*)

Nun liefert aber die Bernoulli-Ungleichung

(  1 - 1 / (n+1)²  ) ⁿ   >  1 - n/(n+2)²      ##

Nun ist aber    1 - n/(n+2)²    >   1 -  1/(n+2)     #  wie die folgende Umformung zeigt:


  1 - n/(n+2)²    >   1 -  1/(n+2)     | *(n+2)² 

<=>  (n+2)²  - n    >   (n+2)²   - (n+2)

    <=>         -n > - ( n+2)

     <=>          n < n+2  

Also liefern # und ## insgesamt

(  1 - 1 / (n+1)²  ) ⁿ   >  1 - n/(n+2)²    >   1 -  1/(n+2)  

Damit ist (*)  und damit die Monotonie bewiesen.


 

Comments

Dass 3 eine obere Schranke ist, zeigst du ähnlich

siehe etwa  Seite 2 bei 

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Bruedern-WS0708/VorlForts.pdf