Differentialgleichung dy/dx = 0.1x+0.2y lösen. Nicht separabel?

Question

Ich habe die Gleichung

dy/dx = 0.1x+0.2y

Allerdings kann ich hier die Variablen nicht separieren ?

Wie kann ich solch eine Gleichung lösen ?

Comments

$$ y' - {1\over5}y = {1\over10}x $$

Du kannst sie lösen (a) als lineare Dgl. oder (b) als Dgl. mit konstanten Koeffizienten.

Grüße,

M.B.

Answer 1

Hallo hb,

y ' - 1/5 * y  = 1/10 * x

inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

allgemeine Lösung der homogenen DGL  y ' - 1/5 * y  =  0

Ansatz  y = e^rx  mit  y ' = r * e^rx   in DGL einsetzen:

r * e^rx  - 1/5 * e^rx = 0  ⇔ ( r - 1/5)  * e^rx = 0  ⇔  r = 1/5

allgemeine homogene Lösung:  y_h = c * e^1/5·x

spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

Ansatz:  y_S = A * x + B   mit  y_S' = A

in DGL einsetzen:

A - 1/5 (A * x + B)  =  1/10 x  ⇔  A  -  1/5 * A * x  - 1/5 * B =   1/10 x   

      Koeffizientenvergleich:    -1/5 * A = 1/10  →  A = - 1/2  ;

                                                   A - 1/5 * B = 0  →  -1/2 - 1/5 * B = 0 →  B = -5/2      

y_S = -1/2 * x - 5/2 

Allgemeine Lösung der DGL:

 y  =  y_h + y_S  =  c * e^1/5·x - x/2 - 5/2    [ c∈ℝ]  

Gruß Wolfgang