Term mit Integralen in Addition vereinfachen (kartesische Koordinaten)

Question

Könnte mir jemand diesen Term vereinfachen?

$$ A = 2 \left( \int _ { x _ { s } } ^ { r _ { 1 } } f _ { 1 } ( x ) d x + \int _ { d - r _ { 2 } } ^ { x _ { s } } f _ { 2 } ( x ) d x \right) $$

$$ x _ { s } = \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 2 } + d ^ { 2 } } { 2 d } \quad f _ { 1 } ( x ) = \sqrt { r _ { 1 } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \quad f _ { 2 } ( x ) = \sqrt { r _ { 2 } ^ { 2 } - ( x - d ) ^ { 2 } } $$

Answer 1

Der Ausdruck lautet ausgewertet:

$$ A = r _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \left( \frac { x _ { s } } { r _ { 1 } } \sqrt { 1 - \left( \frac { x _ { s } } { r _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } + \arcsin \left( \frac { x _ { s } } { r _ { 1 } } \right) \right) \right) + r _ { 2 } ^ { 2 } \left( \left( \frac { x _ { s } - d } { r _ { 2 } } \sqrt { 1 - \left( \frac { x _ { s } - d } { r _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } + \arcsin \left( \frac { x _ { s } - d } { r _ { 2 } } \right) - \frac { \pi } { 2 } \right) \right) $$

Falls ich mich nicht verrechnet habe. Möglicherweise ist auch das Vorzeichen falsch, allerdings kann man mit dem Ausdruck vermutlich sowieso nicht besonders viel anfangen.

Was willst du denn überhaupt machen? Es wäre sinnvoll, da noch eine geometrische Interpretation zu haben. Sieht auf jeden Fall so aus, als wolltest du Flächen von Kreisausschnitten berechnen.

Comments

Ich habe mein Problem zumindest darauf reduziert ja ^^

Und zwar möchte ich die Schnittfläche zweier Kreise mit den Radien r1 und r2 und dem Abstand der Mittelpunkte d durch Integralrechnung bestimmen. Geometrisch ist es ja recht leicht mit den Kreisausschnitten über die Sekanten.

Ich hatte eben das Problem den riesen Term da oben irgendwie zu vereinfachen :D

Glaubst du man könnte eine Vereinfachung erreichen wenn man Xs den term einsetzt den ich angegeben habe?

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Mich würde interessieren, wie der arcsin zustande kommt?