Wenn n ungerade ist so ist n^2 auch ungerade - Beweis durch vollständige Induktion

Question

Hallo:)

Ich hatte die Aufgabe das oben genannte durch vier verschiedene Prinzipien zu beweisen. Den direkten, indirekten und Kontrapositions-Beweis habe ich hinbekommen, doch bei der Induktion weiß ich einfach keinen Rat :(

Ich habe verschiedene Ansätze ausprobiert aber irgendwie komme ich nicht auf den richtigen Ansatz. Wie eine Induktion durchgeführt wird, weiß ich. Mir fehlt eben nur der Ansatz.

Wäre für Hilfe und Tipps sehr dankbar! :)

Viele liebe Grüße!

Answer 1

Wir wollen mit vollständiger Induktion zeigen dass wenn n∈ ℕ in der Form 2k+1 ist, für ein k ∈ ℕ₀, dann ist das n² auch in der Form 2m+1, für ein m ∈ ℕ₀.

Induktionsanfang: Für n=1 gilt es : 1 ist ungerade (1=2*0+1) und 1² =1 ist auch ungerade (1=2*0+1).

Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass es für n=i gilt, also wenn i ungerade ist (i=2k+1) dann ist i² auch ungerade (i²=2m+1).

Induktionsschritt: Wir wollen zeigen dass es auch für n=i+2 gilt. Wir wollen also zeigen dass wenn i+2 ungerade ist dann ist auch (i+2)² ungerade. Wir haben dass $$n^2=(i+2)^2=i^2+2i+4=i^2+2(i+2)$$ Von der Induktionsbehauptung haben wir dass i² ungerade ist. Wir haben auch dass i+2 ungerade ist. Das 2(i+1) ist dann also gerade. Die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahlen ist ungerade, weil: $$(2k+1)+2m=2k+1+2m=2(k+m)+1$$ Daher folgt es dass (i+1)² ungerade ist. 

Answer 2

Unter der Voraussetzung:  n ungerade→n² ungerade

ist zu zeigen n+2 ungerade→(n+2)² ungerade

Von hier aus rückwärts arbeiten

                       n+2 ungerade→(n² +4n+4) ungerade

                      n+2 ungerade→n² +4(n+4) ungerade

Letzte Zeile gilt, weil ein ungerader Summand (links n; rechts n²) addiert zu einem geraden Summand

(links 2; rechts 4(n+4)) eine ungerade  Summe ergibt.