Kurvenberechnung einer Zykloide

Question

folgende Aufgabe

wie genau zeige ich die Aufgabe a)?

LG

Answer 1

Nun - Du machst Dir eine Zeichnung und überlegst Dir, wie die X- und Y-Koordinaten von \(\alpha\) aussehen, wenn der Kreis mit dem Radius \(r\) um den Winkel \(\Theta\) abgerollt ist.

 

Der blaue Winkel sei \(\Theta\). Dann befindet sich der Berührpunkt \(B\) an der Position \((r\cdot \Theta, 0)\). Die grüne Strecke ist \(=r \cdot \sin \Theta\) daraus folgt dann die X-Koordinate - also die Strecke \(OX\)

$$x(\Theta)= r\cdot \Theta -r \cdot \sin (\Theta)=r( \Theta- \sin (\Theta)) $$

und die Y-Koordinate ist identisch mit der Länge der roten Strecke -und die ist

$$y(\Theta)=r-r\cdot \cos(\Theta)=r(1-\cos(\Theta))$$

Demnach ist \(\alpha(\Theta)\)

$$\alpha(\Theta)=\left(r( \Theta- \sin (\Theta)) , \space r(1-\cos(\Theta)) \right)$$

Gruß Werner

Comments

Hey ho, danke!

Warum ist die Strecke OX=r•θ? Komme gerade nicht drauf. Sonst ist alles top!

LG

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Die Strecke \(OX\ne r\cdot \Theta\). Das steht da auch nicht. Vielmehr ist \(OB= r \cdot \Theta\). Die Zykloide entsteht, indem der (blaue) Kreis quasi auf der X-Achse abrollt. Als \(\Theta\) noch =0 war, befand sich der Punkt \(\alpha\) im Ursprung \(O\). Demnach muss der Kreisbogen zwischen \(\alpha\) und \(B\) genauso lang sein, wie die 'Roll'-Strecke \(OB\). Daraus folgt \(OB=r\cdot \Theta\).

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Verstanden, danke dir, Werner!

Wie berechnet man nun die Länge ser Zykloide?

LG