Ähnlichkeit bei Matrizen beweisen durch Formel B=T^{-1} * A * T. Wie T berechnen?

Question

wenn ich zwei Matrizen A und B gegeben habe, wie beweise ich deren Ähnlichkeit durch die Formel: B=T^-1 * A * T ??? Ich stehe irgendwie schon seit 3 Tagen auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich T berechnen soll.

Danke :)

meghan16

Comments

Betrachte mal die vorhandenen Diskussionen.

Bsp.

https://www.mathelounge.de/252292/ahnlichkeit-von-zwei-matrizen 

Ein Beispiel zu rechnen wäre bestimmt einfacher. Vielleicht gibst du ja etwas an?

Sonst kannst du bei den "ähnlichen Fragen" suchen.

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Die vorherige Frage habe ich schon gesehen, aber ich kam damit auch nicht wirklich weiter.

Bsp: A= (1  -2                               B= (2/3   -5/3

                 3  1)                                    11/3      4/3)

Answer 1

B = T^{-1} * A * T

T * B = A * T

mit T = [a, b; c, d] gilt

[a, b; c, d]·[2/3, - 5/3; 11/3, 4/3] = [1, -2; 3, 1]·[a, b; c, d]

[(2·a + 11·b)/3, (4·b - 5·a)/3; (2·c + 11·d)/3, (4·d - 5·c)/3] = [a - 2·c, b - 2·d; 3·a + c, 3·b + d]

Man kann das lineare Gleichungssystem lösen:

a = (b + 6·d)/5 ∧ c = (d - 9·b)/5

a = 1
c = 2
b = -1
d = 1

Also ist

T = [1, -1; 2, 1]

[1, -1; 2, 1]·[2/3, - 5/3; 11/3, 4/3] = [1, -2; 3, 1]·[1, -1; 2, 1]

[-3, -3; 5, -2] = [-3, -3; 5, -2]

Das passt also.

Comments

Man könnte noch optimieren, wenn man von Hand rechnen möchte. Dann würde ich die Gleichungen erweitern, sodass man keine Brüche mehr stehen hat.

Ich habe das nur mal quick and dirty vorgemacht wie es aussehen könnte auch wenn man überhaupt keine Ahnung hat.

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Vielen Dank, hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können...