Grenzwert von Funktion mit Wurzel bestimmen überlegen

Question

Hey :)

Stimmt der Grenzwert 0 ?

Weil ich multipliziere den Term mit √(1+(x²))+1 und dann steht da x²/x und dann x und für gehen 0 ist es null.

Oder muss ich mit (√(1+(x²))+1)/x erweitern?

Answer 1

Es ist richtig!

Wenn wir mir den Zähler und den Nenner mit $$\sqrt{1+x^2}+1$$ multiplizieren bekommen wir folgendes: $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)\cdot \left(\sqrt{1+x^2}+1\right)}{x\cdot \left(\sqrt{1+x^2}+1\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+x^2-1}{x\cdot \left(\sqrt{1+x^2}+1\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x\cdot \left(\sqrt{1+x^2}+1\right)} \\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1} \\ =\frac{0}{\sqrt{1+0^2}+1} \\ =0$$