Das Anfangswertproblem: y'(t) = arctan(y(t)) ; y(0)=1 hat eine eindeutige Lösung.

Question

Das Problem lautet:
Das Anfangswertproblem: y'(t) = arctan(y(t)) ; y(0)=1 hat eine eindeutige Lösung.

Wie kann man das Zeigen?
Ist es, weil es nur eine DGL 1 Ordnung ist, und damit nur ein C gibt das eindeutig zu bestimmen ist?
und weil arctin(y(t₀)) = arctan(1) = π/4 in seiner Umgebung stetig ist?

Comments

Am besten ist wohl, wenn du da einen konkreten Satz in euren Unterlagen dazu findest. Behauptung scheint ok zu sein: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+y%27%28t%29+%3D+arctan%28y%28t%29%29+%2C+y%280%29%3D1

---

Wolframalpha sagt: "Standard computation time exceeded..",

Es gibt den Satz von Picard-Lindelöff,

der sagt dass wenn I ⊆ R ein kompaktes Infernal, f : I × Rⁿ -> Rⁿ stetig, t0 ∈ I und y₀ ∈ Rⁿ. Und genüge f einer Lipschitzbedingung. ||f(t,y1) - f(t,y2)|| ≤ L ||y1 - y2|| für alle t aus I,

dann ist das AWP y'(t) = f(t,y(t)) , t€ I ;  y(t0) = y0

eindeutig lösbar.

 

Was hier aber die aufteilung in f(t,y1)   bzw. f(t,y(t)) soll verstehe ich nicht.
Auch was I × Rⁿ meint.

Answer 1

der Hinweis auf den Satz von Picard-Lindelöff ist ein guter Ansatz: Es muss die Existenz der Lipschitz-Konstante gezeigt werden:

Da die Funktion arctan(x): R ↦ (-π/2, +π/2) nach oben und unten beschränkt ist (eben durch ±π/2), ist mit L = max(|y'|) = max(|arctan(y)|) = π/2 eine Liptschitz-Konstante gegeben. Daraus folgt mit dem Satz von Picard-Lindelöff, die Funktion y mit einem Anfangswert y_0 ist eindeutig.

MfG

Mister

Comments

Demnach wäre jede beschränkte Funktion Lipschitz-stetig?

Lindelöf schreibt man übrigens mit nur einem f ;)

---

Jede beschränkte stetige Funktion ist Lipschitz-stetig. Und der arctan ist ja wohl stetig, mein lieber Herr Netzer.

---

Muss nicht ich die Beschränktheit der Ableitung prüfen?

---

Wer sie letzten Endes prüft, ist glaub' ich egal.

---

Beschränkte stetige Funktionen müssen keinesfalls Lipschitz-Stetig sein! Schon gar nicht auf unbeschränkten Intervallen.

Die Idee von Anonym, die Ableitung auf Beschränktheit zu untersuchen, ist vollkommen richtig.

---

Sagen wir stetige, beschränkte Funktionen, die einmal stetig differenzierbar sind. Die Ableitung vom arctan ist wegen dessen stetiger Differenzierbarkeit beschränkt und der arctan damit Lipschitz-stetig. Noch Fragen?

---

Auch beschränkte, stetig differenzierbare Funktionen müssen nicht Lipschitz-stetig sein. Betrachte sin(x²) auf ℝ.

(einen kompakten Definitionsbereich scheinst du nicht zu fordern, denn du erwähnst ja extra die Beschränktheit)

---

Hm, dies ist in der Tat ein gutes Gegenbeispiel. Und ein kompakter Definitionsbereich tut hier Abhilfe. Sagen wir jede beschränkte Funktion ist auf einer kompakten Definitionsmenge Lipschitz-stetig.

---

Wenn du jetzt "beschränkt" durch "stetig differenzierbar" ersetzt, würde es stimmen ;)

Allgemeiner fordert man die Existenz und Beschränktheit der Ableitung und erhält daraus Lipschitz-Stetigkeit. D.h. man braucht die Kompaktheit des Definitionsbereiches nicht und auch nicht die Stetigkeit der Ableitung.

---

Hm das Verstehe ich jetzt nicht so ganz.
Also alles was ich machen muss ist sagen:

Weil ArcTan(y)  '  = 1/(1+x²) = f'    

und 0<f'≤1 ist, ist die Lösung eindeutig?

---

Es ist auch so richtig. Eine beschränkte C^0-Funktion ist auf einem kompakten Definitionsbereich Lipschitz-stetig.

---

Nein, du musst zeigen, dass der Betrag der Ableitung beschränkt ist.

---

Ok das ist mir bekannt. "eine Stetige Funktion auf einem Kompaten Intervall nimmt dort immer ihr Maximum und Minimum an". Was ja die Lipschitzstetigkeit impliziert.

Aber im allgemeinen.
Was muss ich jetzt genau mit einer DGl.  y'(t) bzw. dem f(t,y) machen bzw. prüfen um die eindeutigkeit zu zeigen?

---

Nein, stetige Funktionen auf Kompakta (die Beschränktheit musst du dann nicht extra fordern) sind nur gleichmäßig stetig. Sie müssen nicht Lipschitz-stetig sein. Betrachte z.B. die Wurzelfunktion auf [0,1]. Wäre die Lipschitz-stetig, so gäbe es ein L mit √x ≤ Lx für alle x in [0,1]. Was aber nicht der Fall ist...

---

Nicht schlecht, Herr Specht. Dies bezeugt die Brillianz der Lipschitz-Stetigkeit. Okay, sagen wir: Eine auf D ⊂ ℝ stetig differenzierbare Funktion, dereń Ableitung beschränkt ist, ist Lipschitz-stetig.

@Anonym: Dies trifft auf d/dx arctan(x) = 1 / (1+x^2) zu ⇒ Die Lösung der Differentialgleichung mit einem bestimmten Anfangswert ist eindeutig.


PS: Dies bedeutet für gleichmäßige Stetigkeit leider nur die Silbermedaille.

---

Und welche Preise gehen dann an Hölder- und Absolutstetigkeit? ;)

(die Stetigkeit der Ableitung in deiner letzten Formulierung brauchst du übrigens nicht)

---

Also jetzt verliere ich echt ein wenig den Überblick :).

Angenommen ich habe:

y'(t) = t * y(t)

y(0) = 1

Wie prüfe / zeige ich nun die Eindeutigkeit?

---

Platin und... Kometenstaub. Obwohl...  die Verallgemeinerungskette lautet:

stetig, glm. stetig, absolut stetig, Lipschitz-stetig, Hölder-stetig. Das heißt Platin für Hölder- und Bronze für absolute Stetigkeit, oui?

---

@Anonym:

Du leitest y'(t) ab und findest eine Lipschitz-Konstante.

L = max(d / dy(y'(t))= max( t ) = ∞. Schlechte Neuigkeiten: f(y) ist nicht Lipschitz-stetig.

MfG

Mister

---

also leite ich ab:

wenn y'(t) == f(t,y) = t*y(t)

∂_yf(t,y) = t.

Jetzt ist die Frage, prüfe ich die Veränderung nach t oder nach y.

Betrachte ich es nach y so ist t ja nur eine Konstante. Und damit wäre die L-Stetigkeit ja gegeben

---

Ne, L muss für alle t aus dem Definitionsbereich endlich sein, sprich existieren, obwohl du aber richtigerweise nach y ableitest.

---

Ich habe gerade mal nachgerechnet und es gibt tatsächlich auch mindestens zwei Lösungen der DGL trotz der Anfangsbedingung:

y1 = exp(x^2/2)

y2 = -y1 + 2

MfG

Mister

---

Aud dem Definitionsbereich, oder aus dem Intervall?

Weil wenn ich ein beliebiges Intervall um t0 Wählen darf, dann wäre L-S Ja (fast) immer gegeben sofern f' in t0 stetig ist.

Sorry dass das hier so eine Diskussion wird.

---

Dieses spezielle Problem ist einfach zu behandeln, da die DGL linear ist ;)

Glücklicherweise erfüllt f(t,y) eine lokale Lipschitz-Bedingung.

@Mister: dein y2 erfüllt die DGL nicht mehr...

---

Stimmt. Jetzt seh' ich's auch.

---

Lokale Lipschitz-Bedingung heißt Lipschitz-stetig auf jeder kompakten Teilmenge von R?

---

Die Funktion ist doch aber von zwei Variablen abhängig.

Dass f = f(t,y) eine lokale Lipschitz-Bedingung erfüllt, heißt, dass es zu jedem (t,y) in einer geeigneten Menge aus ℝ² eine Umgebung von (t,y) gibt, auf welcher f eine Lipschitz-Bedingung erfüllt.

---

Achso, ja, aber so hab' ich's mir vorgestellt.

---

Wobei y aus R
und t aus I sein muss oder?

---

Hi, Lipschitz- und Hölder-Stetigkeit sind ja nur zwei Vergenauerungen der Dini-Stetigkeit.

---

Ja, na und...?

---

Na wie, ja, na und?

---

Was wolltest du denn damit sagen?

---

Dass man über die Bronzemedaille neu nachdenken muss.

---

Naja, ich denke, Dini-Stetigkeit kann man getrost außen vor lassen. Da wäre schon die Folgenstetigkeit interessanter, die man unter Stetigkeit einordnen müsste. Ist aber auch egal...

---

Soviel Medaillen kann man sich ja gar nicht ausdenken.

Gibt es für alle bisher genannten Stetigkeitsarten eine Implikationskette für eine Funktion f: D → ℝ, D ⊂ ℝ der Art

f ist stetig ⇐ f ist gleichmäßig stetig ⇐ ...?

Oder gibt es exklusive, auf Teilmengen des Funktionenraums disjunkte Stetigkeitsbegriffe?

MfG

Mister