Question

Zeige: Die Gleichung \( z^4 = i \) hat 4 Lösungen, von denen keine reell ist.

\( z in ℂ \)

\( z^4 = 1 \)

Ich würde auf \( z^4- i = 0 \) umstellen, allgemein müsste das doch dann die 4. Wurzel von i sein?

Answer 1

Hi,

Ja, das ist richtig

z^4=i

z = i^{1/4}


Das würde ich nun in Polarform überführen, damit man die vier Wurzeln die sich ergeben gut errechnen lassen.

Wissen:

i = cos(π/2) + i*sin(π/2)

Euler - De Moivre

i^{1/4} = cos(π/8+πk/2) + i sin(π/8+πk/2)


Nun k für k=0...3

k = 0 -> z = cos(π/8) + i sin(π/8) ≈ 0.92 + 0.38i
k = 1 -> z = cos(5π/8) + i sin(5π/8) ≈ -0.38 + 0.92i
k = 2 -> z = cos(9π/8) + i sin(9π/8) ≈ -0.92 - 0.38i
k = 3 -> z = cos(13π/8) + i sin(13π/8) ≈ 0.38 - 0.92i


Es sind also alle Lösungen komplex.

Grüße

Comments

WOW. So schnell eine so gute Lösung zu bekommen. Ich wäre da nie drauf gekommen.

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Ich habe noch eine Anschlussfrage:

ich habe ja wegen i= cos(φ)+i*sin(φ)    r=1

damit eⁱφ

damit muss cos(φ) = 0 und sin(φ) = 1 sein.

das Gilt für alle k € N fache für π/2.

also ist z^4 = e^{i (}π/2)

z= e^{i (π/8)}

 

^{Wie entsteht das} cos(π/8+πk/2) + i sin(π/8+πk/2)

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Yop, der erste Teil ist richtig.

Der zweite Teil ergibt sich direkt aus de Moivre. Eine Formel die man wissen sollte, wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet ;).

Allgm. lautet diese

z_k = ⁿ√r (cos(φ/n + k*2π/n) + i sin(φ/n + k*2π/n))

Für n, die n-te Wurzel und k für k=0,...,n-1

;)