a,b ∈ ℝ mit 0 < a < b Zeige: sqrt(a) < sqrt(b). Ist mein Beweis korrekt?

Question

ℝ

Gegeben ist: a,b ∈ Reellen Zahlen mit 0 < a < b

Zeige: sqrt(a) < sqrt(b)

Beweis:

sqrt(a) < sqrt(b) | beide Seiten quadrieren

a < b

 qed.

Answer 1

$0< b-a=(\sqrt b-\sqrt a)\cdot(\sqrt b+\sqrt a)$. Division durch $\sqrt b+\sqrt a>0$ liefert $\sqrt b>\sqrt a$.

Answer 2

Der Beweis ist für mein Empfinden ausreichend.

Er  setzt voraus, dass die Quadratfunktion
monoton steigend ist. Dies ist aber geläufig.

Comments

Ich mir diesen Beweis selbst ausgedacht, um eine andere Annahme zu begründen. Im Skript gab es keine Definition zu Wurzeln mit Anordnungsaxiomen.

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Für alle monoton steigende Funktionen gilt

a, b > 0
a < b

√ a < √ b
a²  <  b²
ln ( a ) <  ln ( b )
e^a < e^b

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Nein! Gezeigt werden soll, dass aus 0< a<b auch Wurzel (a)<Wurzel (b) folgt. Nicht die Umkehrung.