f(x) = x + x^3 . (f^{-1})'(f(1)) mit Differentiationsregel für Umkehrfunktionen bestimmen.

Question

Hey:)

Muss ich jetzt einfach f(x)=x+x^ (3) ableiten, also 1+3x^{2} und dann eins einsetzen?

Answer 1

f^-1 ' (y)  = 1 / f ' (x) hier also

y = f(1) und  f ' ( 1 ) = 1 + 3*1²  = 4, also  f^-1 ' (y)  = 1 / 4.

Comments

Aber f(1) ist doch 2 und nicht eins

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Hallo mathef,

eine Frage :
in meiner Antwort schrieb ich:

g [ f ( x ) ] = x
Funktion und Umkehrfunktion heben sich auf
Ableiten auf beiden Seiten
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1

Warum stimmt dies eigentlich ?

Wenn gilt z.B.
a ( x ) = b ( x )
Gilt nicht automatisch
a  ´ ( x ) = b ´ ( x )

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@ Sonnenblume:   eben f(1)=2 also x=1 und y=2.

und  f^-1 ' (y)  = 1 / f ' (x)

@ georg Ich meine es sei so :


a ( x ) = b ( x )    ==>   a  ´ ( x ) = b ´ ( x )

(Denn die Ableitungsfunktion ist eindeutig bestimmt.)

aber NICHT 

a ( x )' = b ( x ) '   ==>   a   ( x ) = b ( x )

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a ( x ) = b ( x )    ==>   a  ´ ( x ) = b ´ ( x )

gilt eigentlich nur für Berührpunkte.

Wie heißt das Verfahren ?
Gauß hat es ausgetüftelt.

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Hier ist es doch so, dass man davon ausgeht:

Es gilt für alle x (zumindest in einer Umgebung der betrachteten

Stelle.) Denn wenn das nur punktuell gilt, ist das eine

ja nicht die Umkehrfunktion vom anderen. )

Also sind sozusagen a und b beides die gleiche

Funktion und dann haben auch beide die

gleiche Ableitung.

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f ( x ) = Funktion
g ( x ) = Umkehrfunktion
Es gilt
g [ f ( x ) ] = x

Wenn ich beide Seiten als Funktionen auffasse
ergibt dies : die verkettete Funktion links ist an jeder
Stelle deckungsgleich mit einer Funktion a ( x ) = x.

Dafür gilt dann auch
( g [ f ( x ) ] ) ´ =  x  ´  = 1

So. Jetzt hab´ ichs glaube ich.

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Seh ich auch so.

Answer 2

Gegeben
f ( x ) = x + x^3
Die Umkehrfunktion läßt sich nicht bilden.

g ist die Umkehrfunktion
Es gilt
g [ f ( x ) ] = x
Funktion und Umkehrfunktion heben sich auf

Ableiten auf beiden Seiten
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1

x = 1
f ( 1 ) = 2
f ´( x ) = 1 + 3 * x^2
f ´( 1 ) = 4

g ´ [ 2 ] * 4 = 1
g ´ [ 2 ] = 1 / 4

Comments

Wieso ist g'...*f' =1?

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Steht aber schon da.

g [ f ( x ) ] = x
[ g [ f ( x ) ] ] ´=  [ x ]

g [ f ( x ) ] nach der kettenregel ableiten

äußere Ableitung
g ´ [ f ( x ) ]
innere Ableitung
f ( x ) ´ = f ´( x )

Zusammen
äußere Ableitung * innere Ableitung

g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x )

Ableitung rechte Seie
[ x ] ´ = [ 1 * x ] ´ = 1

g ´ [  f ( x ) ] * f ´( x ) = 1

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Aber f' ist doch 1+3x^2 und nicht x

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Weißt du Sonnenblume ich glaube
du hast den ganzen Sachverhalt überhaupt
noch nicht verstanden.

Du hast eine Funktion
f ( x )
die dazugehörige Umkehrfunktion bezeichnen
wir als
f ^{-1 } oder einfacher g ( x )

Die Aufgabenstellung lautet
bestimme die Steigung der Umkehrfunktion
an der Stelle f ( 1 )
f ( x ) = x + x³
f ( 1 ) = 1 + 1^3 = 2
g ´( 2 ) = ?
Dies ist die Frage die es zu beantworten
gilt.

Zur Herleitung der Differentiationsregel
habe ich genutzt
Funktion und Umkehrfunktion heben sich auf
g [ f ( x ) ] = x

Geanu wie
Addition und Subtraktion
x + 4 - 4 = x
Multiplikation / Division
x * 4 / 4 = x

Ist soweit alles klar ?