Von einer Seite ein Quadrat, von der andern ein Kreis, von der dritten ein Kreuz. Berechne das Volumen des Körpers.

Question

In eine Marmorplatte wurden drei Löcher geschnitten ( siehe Bild).

 

 

Wie müsste der Körper aussehen, den man nacheinander durch alle drei abgebildeten Öffnungen ganz hindurch schieben kann und der alle drei Öffnungen ganz ausfüllt?

1) Fertige ein Modell

2) Wähle 6 cm Seitenlänge für das Quadrat. Die Armlänge und die Armbreite des Kreuzes betragen 2cm.

3) Berechne nun das Volumen des Körpers (Gesamtansatz!)

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Beim Kreuz müsste man noch die Verhältnisse von Armbreiten und Armlängen kennen.

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Die Armlänge und die Armbreite betragen 2cm.

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Deine Angaben sind oben nachgetragen.

Answer 1

Idee ich nehme einen Zylinder mit dem Radius 3 und der Höhe 6. Nun nehme ich von der Grundfläche (dem Kreis) rechts und links zwei Kreisabschnitte ab und das auf einer Länge von 2 cm. Einmal von vorne und einmal von Hinten.

V = pi·3^2·6 - 2·(3^2·ACOS(1 - 2/3) - √(2·3·2 - 2^2)·(3 - 2))·4 = 103.6443422

Ich würde damit auf ein Volumen von etwa 104 cm^3 kommen.
Ein Modell brauche ich hier hoffentlich nicht basteln.

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Handelt es sich bei der Figur um den Polya- Stöpsel?

Siehe Abbildung!

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Wenn du von der Kreisfläche vorne und hinten jeweils einen Kreisabschnitt abnimmst, dann siehst du in der Draufsicht auf diese Kreisfläche aber keinen vollständigen Kreis mehr, denn dem fehlen dann ja die abgenommenen Stücke. Gemäß Aufgabenstellung aber soll der Körper auch das kreisförmige Loch vollständig ausfüllen ...

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Nein, der abgebildete Polya-Stöpsel kann die Aufgabenstellung nicht erfüllen, denn er füllt das kreuzförmige Loch nicht vollständig aus bzw. passt gar nicht hindurch ...

Der Polya-Stöpsel ist ein Körper, der durch ein quadratisches Loch der Kantenlänge a, durch ein rundes Loch mit dem Durchmesser a und durch ein gleichseitig-dreieckiges Loch mit der Seitenlänge a hindurchpasst und diese Löcher dabei vollständig ausfüllt. Er passt jedoch nicht durch ein kreuzförmiges Loch bzw. füllt diese nicht vollständig aus, wenn er so klein ist, dass er irgendwie hindurchpasst. 

Answer 2

Ich glaube, dass ein solcher Körper nicht existieren kann.

Begründung: Der Körper müsste etwa so aussehen, wie auf der unten abgebildeten "Zeichnung": Ein quadratischer Zylinder, dessen Grundfläche eine Seitenlänge von 6 cm hat und der 2 cm hoch ist, wird mittig von einem Kreiszylinder durchdrungen, dessen kreisförmige Grundfläche einen Durchmesser von 6 cm hat und dessen Höhe ebenfalls 2 cm beträgt.  

Das Problem ist jedoch: Wenn man von der Seite auf diesen Körper schauend einen Kreis sehen soll, dann muss der abgebildete Kreiszylinder vollständig sein, er darf also vorne und hinten nicht abgeplattet sein. Das aber müsste er sein, damit man von oben betrachtet ein Quadrat sieht, welches an keiner Stelle "ausgebuchtet" ist. 

Verringert man den Radius des Kreiszylinders so, dass er die begrenzenden vorderen und hinteren Seitenflächen des quadratischen Zylinders von innen gerade berührt, dann sieht man, wenn man den Körper von der Seite anschaut, einen Kreis mit eckigen "Ausbuchtungen", die von der Seitenansicht des quadratischen Zylinders herrühren.

Ein Körper der abgebildeten Form, der in der Seitenansicht wie ein korrekter Kreis und in der Draufsicht gleichzeitig wie ein korrektes Quadrat aussieht, ist meines Erachtens nicht möglich. Einen anders geformten Körper, der die genannten Bedingungen erfüllt, kann ich mir hingegen gerade nicht so recht vorstellen. Vielleicht kann das ja jemand anderes (und kann dazu auch eine grobe Skizze liefern) ... ?

 

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Deine Skizze kommt meinem Körper doch sehr Nahe. ich nehme einen liegenden Zylinder und fräse dort diese 4 Teile heraus.

Wenn ich von rechts schaue habe ich einen Kreis. So von vorne habe ich ein Kreuz und von oben draufgeschaut habe ich ein Quadrat.

Die Öffnung wird nur in der Fläche vollständig ausgefüllt. Ich denke das das gemeint war, auch wenn es sprachlich etwas schwierig ist dies zu formulieren.

Meine Rechnung hat so einen skizzierten Körper zur Grundlage.

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So ganz habe ich es noch nicht verstanden. Welche vier Teile fräst du aus dem liegenden Zylinder heraus?

Mir ist aber etwas anderes eingefallen: Wenn man die vordere und die hintere Seitenfläche des quadratischen Zylinder so formt, dass sie gewölbt sind, und diese Wölbung gerade der Form des durchen Kreiszylinders angepasst ist, dann sieht man von vorne ein Kreuz, von der Seite einen korrekten Kreis und von oben tatsächlich ein korrektes Quadrat.

Ich habe meinen ersten Körper mal dementsprechend angepasst, ich hoffe man erkennt, was gemeint ist:

Die rote Linie kennzeichnet die Schnittebene, die in der Draufsicht das Quadrat liefert.

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Genau! Ich vermute auch dass dieser Körper gemeint war. Der passt ja von allen Seiten genau durch die Öffnungen.

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Ja - und nun habe ich auch verstanden, welchen Körper Der_Mathecoach meint - nämlich genau diesen. Und ich habe jetzt auch begriffen, welche vier Teile er aus dem liegenden Kreiszylinder herausschneiden will. Nun werde ich mir seine Berechnung noch einmal etwas genauer anschauen...

Meine eingangs aufgestellte Behauptung, dass ein solcher Körper nicht existieren könne, nehme ich hiermit selbstverständlich zurück. 

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Ja. Jetzt stimmt die Zeichnung. Genau so hatte ich mir das vorgestellt. Ich habe hier auch eine Zeichnung aber die ist so schlecht, dass ich die euch nicht antun wollte :)

Vielleicht erkennst du so auch das dem liegenden Zylinder einfach nur 4 Teile weggenommen werden müssen.
Bzw. wenn ich an deine Figur 4 passende Teile anfüge erhalte ich einen liegenden Zylinder.

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Ich habe nun das Volumen des Körpers ein wenig anders berechnet, als Der_Mathecoach und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen. DH!