1.) Warum heben sich die Wurzeln weg?
Ja, das ist eine binomische Formel, genau genommen die dritte:
(a+b)*(a-b) = a²-b²
Setzt man für a die Wurzeln ein, wie sie da stehn, dann sieht man, dass sie mit den Quadraten aufgehoben werden.
2.) Warum steht dann eine 1 im Zähler?
Vorher stand da n+1-n, was nach dem Kommutativgesetz nichts anderes ist, als n-n+1
Und n-n ist 0, also ist das das gleiche wie 1.
3.) Das größer gleich ist eine Abschätzung. Ich ändere etwas am Term und schätze ab, was das für seinen Wert bewirkt. In diesem Fall mache ich die √n zu einer √(n+1). Damit mache ich den Nenner des Bruchs größer, also den Bruch insgesamt kleiner. Darum ein größer als: das, was vorher da stand, ist größer als das, was jetzt da steht.
Allerdings merke ich gerade, dass ich die Abschätzung falsch rum gemacht hab: ich hab jetzt gezeigt, dass der Grenzwert auf jeden Fall größer ist, als 0, das hilft mir aber nicht. Er könnte ja zum Beispiel noch gegen Unendlich gehen oder gegen eine feste Zahl.
Was ich hätte machen müssen, ist den Term vergrößern und zeigen, dass das trotzdem noch 0 gibt. Das funktioniert einfach genau in die andere Richtung: Ich ersetze n+1 durch n, dadurch wird der Nenner kleiner und der ganze Bruch größer.
$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n } } \right) \leq \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } + \sqrt { n } } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { n } } \right) = 0 $$
